（全国版）2019版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案

第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1角的概念1分类2终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ考点2弧度的定义和公式1定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2公式：(1)弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度；(2)弧长公式：l|r；(3)扇形面积公式：S扇形lr和S扇形|r2.说明：(2)(3)公式中的必须为弧度制考点3任意角的三角函数1定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则siny，cosx，tan(x0)2几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. 正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线必会结论1三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin，cos，tan(x0)考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)第一象限角必是锐角()(2)不相等的角终边一定不相同()(3)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为2k(kZ). ()(4)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位()(5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确3.课本改编若sin0且tan0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C解析sin0，则为第三、四象限角或y轴负半轴上的角，tan0，则为第一、三象限角，故为第三象限角选C.4若角终边上有一点P(x,5)，且cos(x0)，则sin_.答案解析cos，x12，sin.52018石家庄模拟已知角的终边在直线yx上，且cos0，则tan_.答案1解析如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则yx，由三角函数的定义得tan1.板块二典例探究考向突破考向象限角及终边相同的角例1(1)设集合M，N，判断两集合的关系()AMN BMNCNM DMN答案B解析解法一：由于Mx18045，kZ，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN.解法二：在集合M中，x18045k904545(2k1)，2k1是奇数；在集合N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN.故选B.(2)设角是第二象限的角，且cos，则是第_象限角答案三解析因为是第二象限角，所以是第一或第三象限角又因为cos，所以cos0.故是第三象限角触类旁通终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角【变式训练1】(1)2018潍坊模拟集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k2n(nZ)时，2n2n， 此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样(2)2018绵阳质检点A(sin2018，cos2018)在直角坐标平面上位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析sin2018sin218sin380，cos2018cos218cos380.选C项考向三角函数的定义及其应用命题角度1利用定义求三角函数值例2已知角的终边经过点P(4a,3a)(a0时，r5a，sin，cos，tan；当a1，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析由已知得(sincos)21，即12sincos1，sincos0，又sincos，所以sin0cos，所以角的终边在第二象限2已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A2 B2sin1 C. Dsin2答案C解析2Rsin12，R，l|R.故选C.3.2018厦门模拟如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A，则cossin_.答案解析由题意得cos221，cos2.又cos0，所以cos，又sin，所以cossin.4已知角的终边过点P(3cos，4cos)，其中，求的三角函数值解，1cos0.r5cos，故sin，cos，tan.5已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)60，l10(cm)(2)由已知得：l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以R5时，S取得最大值25，此时l10 cm，2 rad.11