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第3讲几何概型板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1几何概型1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个基本特点考点2几何概型的概率公式P(A).必会结论几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零. ()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是P.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)22017全国卷如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知所求概率P.故选B.32018重庆一中模拟在2,3上随机取一个数x，则(x1)(x3)0的概率为()A. B. C. D.答案D解析由(x1)(x3)0，得1x3.由几何概型得所求概率为.42018衡水中学调研已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCDA1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是()A. B. C. D.答案C解析设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为3a3，故M在球O内的概率为.52016全国卷从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A. B. C. D.答案C解析设由，构成的正方形的面积为S，xy1构成的图形的面积为S，所以，所以.故选C.板块二典例探究考向突破考向与长度有关的几何概型例1(1)2016全国卷某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A. B. C. D.答案B解析行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P.故选B.(2)2017江苏高考记函数f(x)的定义域为D.在区间4,5上随机取一个数x，则xD的概率是_答案解析由6xx20，解得2x3，D2,3如图，区间4,5的长度为9，定义域D的长度为5，P.触类旁通求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比；(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度【变式训练1】(1)2018辽宁模拟在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A. B. C. D.答案C解析设ACx cm(0x12)，则CB(12x) cm，则矩形面积Sx(12x)12xx20，解得0x4或8x12，在数轴上表示为由几何概型概率公式，得概率为.故选C.(2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_答案解析本题可以看成向区间0,5 内均匀投点，设A某乘客候车时间不超过3分钟，则P(A).考向与面积有关的几何概型命题角度1与平面图形面积有关的问题例22015陕西高考设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B.C. D.答案C解析|z|1，(x1)2y21，表示以M(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为.易知直线yx与圆(x1)2y21相交于O(0,0)，A(1,1)两点，作图如右：OMA90，S阴影11.故所求的概率P.命题角度2与线性规划交汇的问题例32018湖北联考在区间0,4上随机取两个实数x，y，使得x2y8的概率为()A. B. C. D.答案D解析如图所示，表示的平面区域为正方形OBCD及其内部，x2y8(x，y0,4)表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P.故选D.命题角度3随机模拟估算例4如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()A7.68 B8.68 C16.32 D17.32答案C解析由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为0.68.由几何概型的概率计算公式，可得0.68，而S矩形6424，则S椭圆0.682416.32.触类旁通利用求解考向与体积有关的几何概型例5有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_答案解析圆柱的体积V柱R2h2，半球的体积V半球R3.圆柱内一点P到点O的距离小于等于1的概率为.点P到点O的距离大于1的概率为1.触类旁通与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求【变式训练2】已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，则点P满足V三棱锥PABCV三棱锥SABC的概率是_答案解析设三棱锥PABC的高为h.由V三棱锥PABCV三棱锥SABC，得SABChSABC3，解得h，即点P在三棱锥的中截面以下的空间点P满足V三棱锥PABCV三棱锥SABC的概率是P1.考向与角度有关的几何概型例62017鞍山模拟过等腰RtABC的直角顶点C在ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求ADAC的概率解在AB上取一点E，使AEAC，连接CE(如图)，则当射线CD落在ACE内部时，ADAC.易知ACE67.5，ADAC的概率P0.75.触类旁通与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A).(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算【变式训练3】如图所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率解因为B60，C45，所以BAC75，在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得BAMBAD时事件N发生由几何概型的概率公式，得P(N).核心规律几何概型中的转化思想(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型满分策略几何概型求解中的注意事项(1)计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题(2)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果(3)几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”“角度”“面积”“体积”等，但要注意求概率时作比的上下“测度”要一致.板块三启智培优破译高考数学思想系列11转化与化归思想解决几何概型的应用问题2018珠海模拟某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答)解题视点先设出两人到校的时间，得到两变量满足的不等式组，再在平面直角坐标系中画出不等式组表示的区域，最后根据面积型几何概型求概率解析设小张和小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示则总事件所占的面积为(5030)2400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A(x，y)|yx5,30x50,30y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为1515，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A).答案答题启示本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x，y，将已知转化为x，y所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x，y)的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型的几何概型问题求解.若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解.跟踪训练2018海口调研张先生订了一份南昌晚报，送报人在早上6：307：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：008：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是_答案解析以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A).板块四模拟演练提能增分 A级基础达标1在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是()A. B. C. D.答案B解析将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离都大于2 m，P.2如图所示，在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC和BOC都不小于15的概率为()A. B. C. D.答案D解析依题意可知AOC15，75，BOC15，75，故OC活动区域为与OA，OB构成的角均为15的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(9030)60.P(A).32018山东师大附中模拟设x0，则sinx的概率为()A. B. C. D.答案C解析由sinx”即P.9在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.答案3解析由题意知m0，当0m2时，mxm，此时所求概率为，解得m(舍去)；当2m4时，所求概率为，解得m3；当m4时，概率为1，不合题意，故m3.102018保定调研在区间1,1内随机取两个实数x，y，则满足yx1的概率是_答案解析点(x，y)分布在如图所示的正方形区域内，画出xy10表示的区域，可知所求的概率为1.B级知能提升12018郑州模拟分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A. B. C. D.答案B解析设AB2，则S阴影24.所求概率P，故选B项2已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黑芝麻随机撒在ABC内，则该粒黑芝麻落在PBC内的概率是()A. B. C. D.答案D解析由20，得2，设BC边中点为D，连接PD，则22，P为AD中点，所以所求概率P，即该粒黑芝麻落在PBC内的概率是.故选D.32018山东模拟在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为_答案解析不等式1log1可化为log2loglog，即x2，解得0x，故由几何概型的概率公式得P.4设有关于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率解设事件A为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A).(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成事件A的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，如图所以所求的概率为P(A).5甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率解(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0x24,0y4或yx2或yx4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域P(B).15
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