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第1讲集合的概念与运算板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1集合与元素 1集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性2元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示3集合的表示法：列举法、描述法、图示法4常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR考点2集合间的基本关系 表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同AB且BAAB子集A中任意一个元素均为B中的元素AB或BA真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集AB(B)考点3集合的基本运算 必会结论1若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n1，非空真子集的个数为2n2.2ABABAABB.3A(UA)；A(UA)U；U(UA)A.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)集合x|y与集合y|y是同一个集合()(2)已知集合Ax|mx1，B1,2，且AB，则实数m1 或m.()(3)Mx|x1，Nx|x，要使MN，则所满足的条件是1.()(4)若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中有4个元素()(5)若51，m2，m24，则m的取值集合为1，1,3()答案(1)(2)(3)(4)(5)22017北京高考若集合Ax|2x1，Bx|x1或x3，则AB()Ax|2x1 Bx|2x3Cx|1x1 Dx|1x3答案A解析Ax|2x1，Bx|x1或x3，ABx|2x1故选A.3课本改编已知集合Ax|x22x30，Bx|0x4，则AB()A1,4 B(0,3C(1,0(1,4 D1,0(1,4答案A解析Ax|x22x30x|1x3，故AB1,4选A.42017全国卷已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则()AABx|x1 DAB答案A解析Bx|3x1，Bx|x0又Ax|x1，ABx|x0，ABx|x1故选A.52018重庆模拟已知集合AxN|x16，Bx|x25x40，则A(RB)的真子集的个数为()A1 B3 C4 D7答案B解析因为AxN|x160,1,2，Bx|x25x40x|1x4，故RBx|x1或x4，故A(RB)0,1，故A(RB)的真子集的个数为3.故选B.板块二典例探究考向突破考向集合的基本概念例1(1)2017郑州模拟已知集合Ax|y，xZ，Bpq|pA，qA，则集合B中元素的个数为()A1 B3 C5 D7答案C解析由题意知A1,0,1，当p1，q1，0,1时，pq0，1，2；当p0，q1,0,1时，pq1,0，1；当p1，q1,0,1时，pq2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为2，1，0,1,2，共计5个，选C.(2)已知集合Aa2，a1，3，Ba3，a2，a21，若AB3，则a_.答案1解析由AB3知，3B.又a211，故只有a3，a2可能等于3.当a33时，a0，此时A0,1，3，B3，2,1，AB1，3故a0舍去当a23时，a1，此时A1,0，3，B4，3,2，满足AB3，故a1.触类旁通解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么本例(1)集合B中的代表元素为实数pq.(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾【变式训练1】(1)2018昆明模拟若集合Ax|x29x0，xN*，BN*，yN*，则AB中元素的个数为_答案3解析解不等式x29x0可得0x9，所以Ax|0x9，xN*1,2,3,4,5,6,7,8，又N*，yN*，所以y可以为1,2,4，所以B1,2,4，所以ABB，AB中元素的个数为3.(2)已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_答案解析因为3A，所以m23或2m2m3.当m23，即m1时，2m2m3，此时集合A中有重复元素3，所以m1不符合题意，舍去；当2m2m3时，解得m或m1(舍去)，此时当m时，m23符合题意所以m.考向集合间的基本关系例2已知集合Ax|x7，Bx|x2m1，则m6.综上可知m的取值范围是(，2)(6，)本例中的A改为Ax|3x7，B改为Bx|m1x2m1，又该如何求解？解当B时，满足BA，此时有m12m1，即m2；当B时，要使BA，则有解得2m4.综上可知m的取值范围是(，4触类旁通根据两集合的关系求参数的方法(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题【变式训练2】设Ax|x28x150，Bx|ax10(1)若a，试判定集合A与B的关系；(2)若BA，求实数a组成的集合C.解(1)由x28x150，得x3或x5，A3,5若a，由ax10，得x10，即x5.B5BA.(2)A3,5，又BA，故若B，则方程ax10无解，有a0；若B，则a0，由ax10，得x.3或5，即a或a.故C.考向集合的基本运算命题角度1集合的交集及运算例32017山东高考设集合Mx|x1|1，Nx|x2，则MN()A(1,1) B(1,2)C(0,2) D(1,2)答案C解析Mx|0x2，Nx|x2，MNx|0x2x|x2x|0x0，By|yex1，则AB等于()Ax|x2 Bx|1x1 Dx|x0答案D解析由2xx20得0x2，故Ax|0x1，故By|y1，所以ABx|x0故选D.命题角度3集合的补集及运算例52016浙江高考已知集合PxR|1x3，QxR|x24，则P(RQ)()A2,3B(2,3C1,2)D(，21，)答案B解析Q(，22，)，RQ(2,2)，P(RQ)(2,3故选B.命题角度4抽象集合的运算例62018唐山统一测试若全集UR，集合A0，Bx|2x1，则下图中阴影部分表示的集合是()Ax|2x3 Bx|1x0Cx|0x6 Dx|1x6答案C解析Ax|1x6，Bx|x0，A(UB)x|0x6选C项触类旁通集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图核心规律解决集合问题，要正确理解有关集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性，采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为： (1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解； (2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解满分策略1.元素的属性：描述法表示集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)是正确求解集合问题的先决条件2.元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误3.空集的特殊性：在解决有关AB，AB等集合问题时，要先考虑是否成立，以防漏解.板块三启智培优破译高考创新交汇系列1集合中的创新性问题2018吉林模拟设全集U1,2,3,4,5,6，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M2,3,6，则UM表示的6位字符串为_；(2)已知A1,3，BU，若集合AB表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是_解题视点考查新定义问题，关键是正确理解题目中的新定义，利用集合间的关系及运算解决问题解析(1)由已知得，UM1,4,5，则UM表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知AB1,3,6，而A1,3，BU，则B可能为6，1,6，3,6，1,3,6，故满足条件的集合B的个数是4.答案(1)100110(2)4答题启示解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.跟踪训练设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A1,2,3,4,5，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有()A10个 B11个 C12个 D13个答案D解析“孤立元”是1的集合：1，1,3,4，1,4,5，1,3,4,5“孤立元”是2的集合：2，2,4,5“孤立元”是3的集合：3“孤立元”是4的集合：4，1,2,4“孤立元”是5的集合：5，1,2,5，2,3,5，1,2,3,5共有13个故选D.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12017全国卷设集合A1,2,4，Bx|x24xm0若AB1，则B()A1，3 B1,0 C1,3 D1,5答案C解析AB1，1B.14m0，即m3.Bx|x24x301,3故选C.2若集合Mx|x|1，Ny|yx2，|x|1，则()AMN BMN CNM DMN答案C解析Mx|x|11,1，Ny|yx2，|x|10,1，所以NM.故选C.32017山东高考设函数y的定义域为A，函数yln (1x)的定义域为B，则AB()A(1,2) B(1,2 C(2,1) D2,1)答案D解析4x20，2x2，A2,21x0，x1，B(，1)，AB2,1)故选D.4已知集合Ax|x24，Bm若ABA，则m的取值范围是()A(，2) B2，)C2,2 D(，22，)答案D解析因为ABA，所以BA，即mA，得m24，解得m2或m2.故选D.52017全国卷已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中元素的个数为()A3 B2 C1 D0答案B解析集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线yx上的所有点的集合由图形可知，直线与圆有两个交点，所以AB中元素的个数为2.故选B.6已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4答案D解析集合B1,2,3,4，有4个元素，集合A1,2，则集合C的个数问题可转化为3,4的子集个数问题，即224.7.2018陕西模拟设全集UR，集合A0，BxZ|x29，则图中阴影部分表示的集合为()A1,2 B0,1,2Cx|0x3 Dx|0x3答案B解析题图中阴影部分表示的是AB，因为A0xZ|0x30,1,2，BxZ|3x33，2，1，0,1,2,3，所以AB0,1,2故选B.8设集合Ax|1x2，Bx|x1.92018郑州模拟已知集合AxR|x2|3，集合B，且AB(1，n)，则m_，n_.答案11解析AxR|x2|3xR|5x1，由AB(1，n)，可知m1，则Bx|mx0或y1，2，(RA)B1，2所以D正确22018湖南模拟设常数aR，集合Ax|(x1)(xa)0，Bx|xa1，若ABR，则a的取值范围为()A(，2) B(，2C(2，) D2，)答案B解析集合A讨论后利用数轴可知或解得1a2或a1，即a2.故选B.3已知数集Aa1，a2，an(1a1a2an，n2)具有性质P：对任意的i，j(1ijn)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则()A1,3,4为“权集” B1,2,3,6为“权集”C“权集”中元素可以有0 D“权集”中一定有元素1答案B解析由于34与均不属于数集1,3,4，故A不正确；由于12,13,16,23，都属于数集1,2,3,6，故B正确；由“权集”的定义可知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C，D错误4已知集合AxR|x2axb0，BxR|x2cx150，AB3，AB3,5(1)求实数a，b，c的值；(2)设集合PxR|ax2bxc7，求集合PZ.解(1)因为AB3，所以3B，所以323c150，c8，所以BxR|x28x1503,5又因为AB3，AB3,5，所以A3，所以方程x2axb0有两个相等的实数根都是3，所以a6，b9，所以a6，b9，c8.(2)不等式ax2bxc7即6x29x87，所以2x23x50，所以x1，所以Px1，所以PZx1Z2，1,0,152018南宁段考已知集合Px|a1x2a1，Qx|x23x10(1)若a3，求(RP)Q；(2)若PQQ，求实数a的取值范围解(1)因为a3，所以Px|4x7，RPx|x7又Qx|x23x100x|2x5，所以(RP)Qx|x7x|2x5x|2x4(2)当P时，由PQQ得PQ，所以解得0a2；当P，即2a1a1时，有PQ，得a0.综上，实数a的取值范围是(，211
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