（江苏专版）2019版高考数学大一轮复习 第六章 数列 第33讲 等差数列学案 理

第33讲等差数列考试要求1.等差数列的概念(B级要求)；2.等差数列的通项公式与前n项和公式(C级要求)；3.等差数列与一次函数、二次函数的关系(A级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()解析(4)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数.(5)若公差d0，则前n项和不是二次函数.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为_.解析a4a5a13da14d24，S66a1d48，联立3得(2115)d24，6d24，d4.答案43.已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100_.解析由等差数列性质知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98.答案984.在等差数列an中，已知S824，S1632，那么S24_.解析因为是等差数列，又3，2，所以1，即S2424.答案245.已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，则这五个数的积为_.解析设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d，由已知条件得解得所求5个数分别为，1，或，1，.故它们的积为.答案知 识 梳 理1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列.(2)等差中项法：2an1anan2 (nN*)an是等差数列.(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列.(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.5.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列.(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列.(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列.6.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.7.等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).8.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值.考点一等差数列基本量的运算【例11】 (1)(2016江苏卷)已知an是等差数列，Sn是其前n项和.若a1a3，S510，则a9的值是_.(2)(2018常州一模) 设Sn为等差数列an的前n项和，若a34，S9S627，则S10_.解析(1)设等差数列an公差为d，则由题设可得解得则a9a18d48320.(2)Sn为等差数列an的前n项和，a34，S9S627，解得a12，d1，S10102165.答案(1)20(2)65【例12】 设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知a2a51，S1575，Tn为数列的前n项和(nN*).(1)求Sn；(2)求Tn及Tn的最小值.解(1)因为an为等差数列，所以设首项为a1，公差设为d，依题意得解得所以Snna1d2n.(2)由(1)知Sn，所以，设bn，则bn1bn，所以数列bn是公差为的等差数列，首项为b1a12.又Tn为数列的前n项和，所以Tn2n.又因为函数y的图象开口向上，对称轴方程为x，且nN*.所以当n4或n5时，(Tn)min5.规律方法等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.【训练1】 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6_.(2)(2017南京三模)设等差数列an的前n项和为Sn.若Sk18，Sk0，Sk110，则正整数k_.解析(1)设等差数列an的公差为d，由题意得S33a13d63d12，所以d2，a6a15d12.(2)由等差数列的性质得为等差数列，所以，(k，0)，三点共线，从而有，解得k9.答案(1)12(2)9考点二等差数列的判定与证明【例2】 已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*).(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.(1)证明因为an2(n2，nN*)，bn(nN*)，所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知bnn，则an11.设f(x)1，则f(x)在区间和上为减函数.所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.规律方法等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(直接用作差代入得结论更简单).(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列.(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列.(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列.【训练2】 数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式.(1)证明由an22an1an2，得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列.(2)解由得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是 (ak1ak) (2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.考点三等差数列通项及求和问题【例3】 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列.(1)求证：a2；(2)求数列an的通项公式.(1)证明当n1时，4a1a5，a4a15，因为an0，所以a2.(2)解当n2时，4Sn1a4(n1)1，则4an4Sn4Sn1aa4，即aa4an4(an2)2，因为an0，所以an1an2，an1an2，所以当n2时，an是公差d2的等差数列.因为a2，a5，a14构成等比数列，所以aa2a14，即(a26)2a2(a224)，解得a23.由(1)可知4a1a54，所以a11.因为a2a1312，所以an是首项a11、公差d2的等差数列.所以数列an的通项公式为an2n1.规律方法(1)等差数列的判断，主要通过等差数列的定义进行判断：an1an为常数d，而不能是关于n变化的函数f(n).(2)等差数列的求和是数列中考查频率比较高的知识点，通常会与解不等式及求最值等知识点综合考查.【训练3】 已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记Sn为数列an的前n项和，问：是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由.解(1)设数列an的公差为d，依题意得2，2d，24d成等比数列，所以(2d)22(24d)，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，所以数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n，显然2n60n800.当an4n2时，Sn2n2，令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上所述，当an2时，不存在满足题意的正整数n；当an4n2时，存在正整数n，使得Sn60n800成立，n的最小值为41.考点四等差数列性质的应用【例41】 (1)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.(2)已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_.解析(1)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，所以a55，故a2a82a510.(2)因为an，bn都是等差数列，所以2a3a1a5，2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2159(a5b6)，解得a5b621.答案(1)10(2)21【例42】 (1)设等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S945，则S12_.(2)在等差数列an中，a12 018，其前n项和为Sn，若2，则S2 018的值为_.解析(1)因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以2(S6S3)S3(S9S6)，即2(S612)12(45S6)，解得S63.又2(S9S6)(S6S3)(S12S9)，即2(453)(312)(S1245)，解得S12114.(2)由题意知数列为等差数列，其公差为1，(2 0181)12 0182 0171.S2 0182 018.答案(1)114(2)2 018规律方法等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.【训练4】 (1)在等差数列an中，已知S3020，S9080，那么S60_.(2)已知数列an的前n项和Snn26n，那么数列|an|的前6项和T6_.(3)(一题多解)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，则当n为_时，Sn取得最大值，并求出它的最大值为_.解析(1)设S60x，则20，x20，80x成等差数列，所以20(80x)2(x20)，解得x.(2)由Snn26n，得an是等差数列，且an2n7.当n3时，an0，所以T6a1a2a3a4a5a6S62S318.(3)a120，S10S15，1020d1520d，d.法一由an20(n1)n，得a130.即当n12时，an0，当n14时，an3)，Sn100，则n的值为_.解析由SnSn351，得an2an1an51，所以an117，又a23，Sn100，解得n10.答案107.设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.解析由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100，得n5，当n5时，an0，当n5时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.答案1308.设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_.解析an，bn为等差数列，.，.答案9.若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式.故an10.(2017苏北四市摸底)已知数列an满足2an1anan2k(nN*，kR)，且a12，a3a54.(1)若k0，求数列an的前n项和Sn；(2)若a41，求数列an的通项公式.解(1) 当k0时，2an1anan2，即an2an1an1an，所以数列an是等差数列.设数列an的公差为d，则解得所以Snna1d2nn2n.(2)由题意得2a4a3a5k，即24k，所以k2.当n1时，2a2a1a32，当n2时，2a3a2a42，所以a42a3a223a22a161，所以a23, 由2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2，所以数列an1an是以a2a11为首项，2为公差的等差数列，所以an1an2n3.当n2时，有anan12(n1)3，于是an1an22(n2)3，an2an32(n3)3，a3a2223，a2a1213，叠加得，ana1212(n1)3(n1)(n2)，所以an23(n1)2n24n1(n2).又当n1时，a12也适合上式.所以数列an的通项公式为ann24n1，nN*.二、选做题11.(2017苏州暑假测试) 已知数列an满足a11，a2，且an(an1an1)2an1an1(n2)，则a2 016_.解析由an(an1an1)2an1an1(n2)得(n2)，又a11，a2，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以n，即an，所以a2 016.答案12.(2014江苏卷)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Snam，则称an是“H数列”.(1)若数列an的前n项和Sn2n(nN*)，证明：an是“H数列”；(2)设an是等差数列，其首项a11，公差d0，若an是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立.(1)证明首先a1S12，当n2时，anSnSn12n2n12n1，所以an所以对任意的nN*，Sn2n是数列an中的n1项，因此数列an是“H数列”.(2)解由题意an1(n1)d，Snnd，数列an是“H数列”，则存在kN*，使nd1(k1)d，k1，由于N*，又kN*，则Z对一切正整数n都成立，所以d1.(3)证明首先，若dnbn(b是常数)，则数列dn前n项和为Snb是数列dn中的第项，因此dn是“H数列”，对任意的等差数列an，ana1(n1)d(d是公差)，设bnna1，cn(da1)(n1)，则anbncn，而数列bn，cn都是“H数列”，证毕.14