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难点四解析几何中的范围、定值和探索性问题(对应学生用书第68页)解析几何中的范围、定值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点，主要以解答题形式考查，一般以椭圆为背景，考查范围、定值和探索性问题，试题难度较大复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用根与系数的关系进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值下面对这些难点一一分析：1圆锥曲线中的定点、定值问题该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明，难度较大定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量【例1】(2017江苏省南京市迎一模模拟)设椭圆C：1(ab0)的离心率e，直线yx与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切(1)求椭圆C的方程；(2)设直线x与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求ABD的面积；(3)如图1，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2mk为定值. 【导学号：56394098】图1解(1)直线yx与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，b，化为b1.离心率e，b2a2c21，联立解得a2，c.椭圆C的方程为y21；(2)把x代入椭圆方程可得：y21，解得y.D的方程为：2y2.令x0，解得y，|AB|，SABD|AB|OD|.(3)证明：由(1)知：A1(2,0)，A2(2,0)，B2(0,1)，直线A1B2的方程为yx1，由题意，直线A2P的方程为yk(x2)，k0，且k，由解得E.设P(x1，y1)，则由得(4k21)x216k2x16k240.2x1，x1，y1k(x12).P.设F(x2,0)，则由P，B2，F三点共线得，kB2PkB2F.即，x2，F.EF的斜率m.2mkk为定值方法总结定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题(1)求定值问题常见的方法有两种从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2)定点的探索与证明问题探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxm，然后利用条件建立k，m等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关2圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力该类试题设计巧妙、命题新颖别致，常求特定量、 特定式子的最值或范围常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变 量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理图2【例2】(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017届高三上学期期末)如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.()当直线的PA斜率为时，求FMN的外接圆的方程；()设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ的面积的最大值解(1)由题意，得解得则b2，所以椭圆C的标准方程为1.(2)由题可设直线PA的方程为yk(x4)，k0，则M(0,4k)，所以直线FN的方程为y(x2)，则N .()当直线PA的斜率为，即k时，M(0,2)，N(0，4)，F(2，0)，(2，2)，(2，4)，880.所以MFFN，所以圆心为(0，1)，半径为3，所以FMN的外接圆的方程为x2(y1)29.()联立消去y并整理得，(12k2)x216k2x32k2160，解得x14或x2，所以P，直线AN的方程为y(x4)，同理可得，Q，所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点所以APQ的面积SOA(yPyQ)28，当且仅当2k，即k时，取“”所以APQ的面积的最大值为8.方法总结这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找求最值或范围常见的解法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值，求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等用这种方法求解圆锥曲线的最值与范围问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注3圆锥曲线中的探索性问题探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神因此越来越受到高考命题者的青睐探索性问题实质上是探索结论的开放性问题相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少(只有存在、 不存在两个结论有时候需讨论)，因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素图3【例3】(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y24x0及点A(1,0)，B(1,2)(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MNAB，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P满足条件，使得PA2PB212？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由 【导学号：56394099】解(1)圆C的标准方程为(x2)2y24，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为lAB，A(1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为xym0，则圆心C到直线l的距离为d.因为MNAB2，而CM2d22，所以42，解得m0或m4，故直线l的方程为xy0或xy40.(2)假设圆C上存在点P满足条件，设P(x，y)，则(x2)2y24，PA2PB2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，即x2y22y30，即x2(y1)24，因为|22|22，所以圆(x2)2y24与圆x2(y1)24相交，所以点P的个数为2.方法总结(1)解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论(2)解决存在性问题应注意以下几点：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径6
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