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14.2正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期.3.掌握函数ysin x，ycos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x3)f(x)，那么3是f(x)的周期吗？答案不一定必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x3)f(x)，才可以说3是f(x)的周期思考2所有的函数都具有周期性吗？答案不是只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期知识点二正弦函数、余弦函数的周期性思考1证明函数ysin x和ycos x都是周期函数答案sin(x2)sin x，cos(x2)cos x，ysin x和ycos x都是周期函数，且2就是它们的一个周期思考2证明函数f(x)Asin(x)(或f(x)Acos(x)(A0)是周期函数答案由诱导公式一知，对任意xR，都有Asin(x)2Asin(x)，所以AsinAsin(x)，即ff(x)，所以f(x)Asin(x)(A0)是周期函数，就是它的一个周期同理，函数f(x)Acos(x)(A0)也是周期函数梳理由sin(x2k)sin_x，cos(x2k)cos_x(kZ)知，ysin x与ycos x都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2.知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性思考对于xR，sin(x)sin x，cos(x)cos x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性梳理(1)对于ysin x，xR，恒有sin(x)sin x，所以正弦函数ysin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称(2)对于ycos x，xR，恒有cos(x)cos x，所以余弦函数ycos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称1函数f(x)x2满足f(36)f(3)，所以f(x)x2是以6为周期的周期函数()提示周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(xT)f(x)，对于f(x)x2，f(0)0，f(06)f(6)36，f(0)f(06)，f(x)x2不是以6为周期的周期函数2周期函数yf(x)的定义域可以为a，b(a，bR)()提示周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界3任何周期函数都有最小正周期()提示常函数f(x)c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期(1)ysin(xR)；(2)y|sin x|(xR)考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性解(1)方法一令z2x，因为xR，所以zR.函数f(x)sin z的最小正周期是2，即变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sin z(zR)的值才能重复取得而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，所以函数f(x)sin(xR)的最小正周期是.方法二f(x)sin的最小正周期为.(2)因为y|sin x|(kZ)其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为.反思与感悟对于形如函数yAsin(x)，A0时的最小正周期的求法常直接利用T来求解，对于y|Asin x|的周期情况常结合图象法来求解跟踪训练1(2017大同检测)下列函数是以为周期的函数是()Aysin x Bysin x2Cycos 2x2 Dycos 3x1考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案C解析ysin x及ysin x2的周期为2，ycos 2x2的周期为，ycos 3x1的周期为.类型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cosx2sin x；(2)f(x).考点正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦函数、余弦函数的奇偶性解(1)f(x)sin 2xx2sin x，xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数(2)由得cos x.f(x)0，x2k，kZ.f(x)既是奇函数又是偶函数反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(x)的关系对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断跟踪训练2若函数ycos(x)是奇函数，则()A0 Bk(kZ)Ck(kZ) Dk(kZ)考点正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦函数、余弦函数的奇偶性答案D解析由函数ycos(x)是奇函数，可知ycos(x)sin x或ycos(x)sin x，由诱导公式，得k(kZ)类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f的值考点正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点正弦函数性质的综合应用解f(x)的最小正周期是，fff.又f(x)是R上的偶函数，ffsin .f.例4已知函数f(x)cosx，求f(1)f(2)f(3)f(2 020)的值考点正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点余弦函数性质的综合应用解f(1)cos，f(2)cos，f(3)cos 1，f(4)cos，f(5)cos，f(6)cos 21，f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0.同理，可得每连续六项的和均为0.f(1)f(2)f(3)f(2 020)f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020)coscoscoscoscoscoscos cos(1).反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值跟踪训练3设函数f(x)sin x，则f(1)f(2)f(3)f(2 018)_.考点正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点正弦函数性质的综合应用答案解析f(x)sin x的周期T6，f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)f(2 017)f(2 018)336f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(2 017)f(2 018)336f(33661)f(33662)3360f(1)f(2)sin sin .1(2017金华十校期末)设函数f(x)cos(x)(0)，则f(x)的奇偶性()A与有关，且与有关 B与有关，但与无关C与无关，且与无关 D与无关，但与有关考点正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦函数、余弦函数的奇偶性答案D解析因为当k，kZ时，函数f(x)cos(x)cos x，为偶函数；当k，kZ时，函数f(x)cos(x)sin x，为奇函数所以f(x)的奇偶性与无关，但与有关2设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数考点正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦函数、余弦函数的奇偶性答案B解析sinsincos 2x，f(x)cos 2x.又f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)是最小正周期为的偶函数3函数ysin的最小正周期为2，则的值为_考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案解析T2，|，.4函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)，则f(22)_.考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案解析f(22)f(2220)f(2).5(2017广州六中期末)已知函数f(x)axbsin x1，若f(2 018)7，则f(2 018)_.考点正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦函数、余弦函数的奇偶性答案5解析由f(2 018)2 018absin 2 01817，得2 018absin 2 0186，f(2 018)2 018absin 2 0181(2 018absin 2 018)1615.1求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出T，如y|sin x|.(3)结论法，一般地，函数yAsin(x)(其中A，为常数，A0，0，xR)的周期T.2判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键如果定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.一、选择题1下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是()考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案D解析对于D，x(1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数2下列函数中，周期为2的是()Aysin Bysin 2xCy Dy|sin 2x|考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案C解析ysin 的周期为T4；ysin 2的周期为T；y的周期为T2；y|sin 2x|的周期为T.故选C.3函数f(x)sin的最小正周期为，其中0，则等于()A5 B10 C15 D20考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案B4函数f(x)3sin是()A周期为3的偶函数B周期为2的偶函数C周期为3的奇函数D周期为的偶函数考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案A5下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是()Aycos|2x| By|sin x|Cysin Dycos考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案D解析ycos|2x|是偶函数，y|sin x|是偶函数，ysincos 2x是偶函数，ycossin 2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T.6函数y的奇偶性为()A奇函数B既是奇函数也是偶函数C偶函数D非奇非偶函数考点正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦函数、余弦函数的奇偶性答案D解析由题意知，当1sin x0，即sin x1时，y|sin x|，所以函数的定义域为，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数7(2017广州检测)如果函数f(x)cos(0)的相邻两个零点之间的距离为，则的值为()A3 B6 C12 D24考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案B解析函数f(x)cos(0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T2，又，解得6.二、填空题8函数f(x)cos的周期是_考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案6解析T6.9(2017海南国兴中学期末)函数y2的最小正周期是_考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案解析函数ysin 2x的最小正周期T，函数y2的最小正周期是.10若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)则f_.考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案解析fffsin .11设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13.若f(1)2，则f(99)_.考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案解析因为f(x)f(x2)13，所以f(x2)，f(x4)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数所以f(99)f(2443)f(3).三、解答题12判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；(3)f(x).考点正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦函数、余弦函数的奇偶性解(1)显然xR，f(x)cos x，f(x)cos cos xf(x)，f(x)是偶函数(2)由得1sin x0，则2.正整数的最大值为6.15欲使函数yAsin x(A0，0)在闭区间0,1上至少出现50个最小值，求的最小值考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性解函数yAsin x的最小正周期为，因为在每一个周期内，函数yAsin x(A0，0)都只有一个最小值，要使函数yAsin x在闭区间0,1上至少出现50个最小值，则y在区间0,1内至少含49个周期，即解得，所以的最小值为.13
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