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3.1.2复数的几何意义学习目标1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法知识点一复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义知识点三复数的模复数zabi(a，bR)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|.由模的定义可知：|z|abi|r(r0，rR)1在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()2在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()3若|z1|z2|，则z1z2.()类型一复数与复平面内的点的关系例1实数x分别取什么值时，复数z(x2x6)(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线xy30上考点复数的几何意义题点复数与点对应的关系解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i对应点Z(x2x6，x22x15)，当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即当x2时，点Z在直线xy30上引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限解(1)当实数x满足x2x60，即当x3或2时，点Z在虚轴上(2)当实数x满足即当2x5时，点Z在第四象限反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值跟踪训练1在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i(mR)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.考点复数的几何意义题点复数与点对应的关系解若复数z的对应点在虚轴上，则m2m20，所以m1或m2，所以z6i或z0.若复数z的对应点在实轴负半轴上，则所以m1，所以z2.类型二复数的模例2设z为复数，且|z|z1|1，求|z1|的值考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解设zabi(a，bR)z1(a1)bi，且|z|z1|1，即即解得|z1|(abi)1|.反思与感悟利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想跟踪训练2已知0a3，复数zai(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A(1，) B(1，)C(1,3) D(1,10)考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案A解析0a3，复数zai(i是虚数单位)，则|z|(1，)类型三复数与复平面内的向量的关系例3(1)向量对应的复数是54i，向量对应的复数是54i，则对应的复数是()A108i B108iC0 D108i(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是()A55i B55iC55i D55i考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系答案(1)C(2)D解析(1)由复数的几何意义，可得(5，4)，(5,4)，所以(5，4)(5,4)(0,0)，所以对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得(2，3)，(3,2)，(2，3)(3,2)(5，5)所以对应的复数是55i.反思与感悟(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化跟踪训练3在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为_考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系答案2i解析复数2i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2，1)，对应的复数为2i.1当m1时，复数z(3m2)(m1)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案D解析m1，03m21，m10，复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点位于第四象限2若(0，3)，则对应的复数为()A0 B3 C3i D3考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系答案C3设复数z1a2i，z22i(i为虚数单位)，且|z1|z2|，则实数a的取值范围是()Aa1 B1a1 Da0考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求参数答案B解析因为|z1|，|z2|，所以，即a245，所以a21，即1a1.4若复数z(m2)(m1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中mR，则|z|_.考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案3解析复数z(m2)(m1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m20且m10，解得m2，所以z3i，所以|z|3.5当实数m为何值时，复数(m28m15)(m23m28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解(1)由得所以7m3.(2)由得所以m4.1复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径(1)复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；(2)复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个2复数的模(1)复数zabi(a，bR)的模|z|；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.一、选择题1在复平面内，复数zcos 3isin 3的对应点所在象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析30，cos 30，故复数zcos 3isin 3的对应点位于第二象限2已知复数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案A解析由题意得解得3m1.3已知a为实数，若复数z(a23a4)(a4)i为纯虚数，则复数aai在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析若复数z(a23a4)(a4)i是纯虚数，则得得a1，则复数aai1i对应的坐标为(1,1)，位于第二象限，故选B.4复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0或a2 Da0考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案C解析z在复平面内对应的点在虚轴上，a22a0，解得a0或a2.5在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为()A2i B2iC12i D12i考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系答案B解析A(1,2)关于直线yx的对称点为B(2,1)，向量对应的复数为2i.6已知复数zai在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z等于()A1i B1iC1i或1i D2i考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案A解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a0，由|z|2知， 2，解得a1，故a1，所以z1i.7在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|2，|z2|，则z2等于()A45i B54iC34i D54i或i考点复数模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案D解析设z2xyi(x，yR)，由条件得，或二、填空题8若复数35i,1i和2ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为_考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案5解析由点(3，5)，(1，1)，(2，a)共线可知a5.9已知复数zx2yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是_考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形答案(x2)2y28解析由模的计算公式得2，(x2)2y28.10在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为34i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为_考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系答案34i解析因为点B的坐标为(3，4)，所以点A的坐标为(3,4)，所以点C的坐标为(3,4)，所以向量对应的复数为34i.11若复数z(a2)(a1)i，aR对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是_考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案解析复数z(a2)(a1)i对应的点的坐标为(a2，a1)，因为该点位于第二象限，所以解得1a2.由条件得|z| .因为1a2，所以|z|.三、解答题12设z为纯虚数，且|z1|1i|，求复数z.考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数解因为z为纯虚数，所以可设zai(a0，且aR)，则|z1|ai1|.又|1i|，所以，解得a1，所以zi.13已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围考点复数的几何意义题点复数的模及其应用解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，)方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合由图可知a，即AB，sin Acos B，cos Btan Acos Bcos Bsin A0，所以点(cos Btan A，tan B)在第二象限，故选B.15已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120，且复数z的模为2，求复数z.考点复数的几何意义题点复数与向量的对应关系解根据题意可画图形如图所示，设点Z的坐标为(a，b)，|z|2，xOZ120，a1，b，即点Z的坐标为(1，)或(1，)，z1i或z1i.10
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