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第三课导数及其应用体系构建题型探究利用导数的几何意义求曲线的切线方程运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现对于较为复杂的此类问题，一般要利用kf(x0)(x0，f(x0)为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程. 思路探究切线过曲线上一点(1，1)，并不代表(1，1)就是切点，故需先设出切点，再求解. 【规范解答】设切点为P(x0，y0)，则y0x2x0.y3x22，则切线的斜率kf(x0)3x2，切线方程为y(x2x0)(3x2)(xx0)又切线过点(1，1)，1(x2x0)(3x2)(1x0)，整理，得(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.切点为(1，1)或，相应的切线斜率为k1或k.故所求切线方程为y(1)x1或y，即xy20或5x4y10.跟踪训练1已知函数f(x)x3ax2bxc在x2处取得极值，并且它的图象与直线y3x3在点(1,0)处相切，则函数f(x)的表达式为_. 【导学号：95902257】【解析】f(x)3x22axb.f(x)与直线y3x3在点(1,0)处相切，即 f(x)在x2处取得极值，f(2)124ab0. 由解得f(x)x33x22.【答案】f(x)x33x22利用导数研究函数的单调性1求函数的单调区间应先确定函数的定义域，利用f (x)0，f (x)0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点2求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f(x)0有无根，(2)f(x)0根的大小，(3)f(x)0的根是否在定义域内另外当f(x)0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.3已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f(x)0(或0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f(x)0的参数是否符合题意，构造关于参数的不等式求解，即令f(x)0(或0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围已知函数f(x)x3ax1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围思路探究(1)求出f(x)，讨论f(x)0的根是否存在，求函数的单调区间；(2)根据题意有f(x)0在(，)上恒成立，分离参数后可求实数a的取值范围【规范解答】 (1)f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数当a0时，令3x2a0得x；当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数综上可知，当a0时，f(x)在R上为增函数；当a0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数(2)因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即a的取值范围为(，0跟踪训练2设函数f(x)x2exxex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围. 【导学号：95902258】【解】(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)若x0，则1ex0，所以f(x)0；若x0，则1ex0，所以f(x)0；若x0，则f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(，)(2)由(1)知f(x)在2,2上单调递减，f(x)minf(2)2e2.当m0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a.【解】(1)由f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb3b.当x时，f(x)有极小值b.因为f(x)的极值点是f(x)的零点，所以f10.又a0，故b.因为f(x)有极值，故f(x)0有实根，从而b(27a3)0，即a3.当a3时，f(x)0(x1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；当a3时，f(x)0有两个相异的实根x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)的极值点是x1，x2.从而a3.因此b，定义域为(3，)(2)证明：由(1)知，.设g(t)，则g(t).当t时，g(t)0，从而g(t)在上单调递增因为a3，所以a3，故g(a)g(3)，即.因此b23a.9
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