（江苏专版）2018年高考数学二轮复习 第2部分 八大难点突破 难点1 与三角变换、平面向量综合的三角形问题学案

难点一与三角变换、平面向量综合的三角形问题(对应学生用书第62页)高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考察，对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考察三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，试题综合性较高，所以要求学生有综合处理问题的能力，纵观最近几年高考，试题难度不大，但是如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程 ，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的目的1向量运算与三角形问题的综合运用解答这类题，首先向量的基本概念和运算必须熟练，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用【例1】(镇江市2017届高三上学期期末)已知向量m(cos ，1)， n(2，sin )，其中，且mn.(1)求cos 2的值；(2)若sin()，且，求角的值解法一(1)由mn得，2cos sin 0，sin 2cos ，代入cos2sin21，得5cos21，且，则cos ，sin ，则cos 22cos21221.(2)由，得，.因sin()，则cos().则sin sin()sin cos()cos sin() ，因，则.法二(1)由mn得，2cos sin 0，tan 2，故cos 2cos2sin2.(2)由(1)知，2cos sin 0，且cos2sin21，则sin ，cos ，由，得，.因sin()，则cos().则sin sin()sin cos()cos sin()，因，则.2三角函数与三角形问题的结合三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的【例2】(2017江苏省无锡市高考数学一模)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边若acos B3，bcos A1，且AB.(1)求边c的长；(2)求角B的大小. 【导学号：56394089】解(1)acos B3，bcos A1，a3，b1，化为：a2c2b26c，b2c2a22c.相加可得：2c28c，解得c4.(2)由(1)可得：a2b28.由正弦定理可得：，又AB，AB，C(AB)，可得sin Csin.a，b.16sin216sin2B8sin2，1cos(1cos 2B)sin2，即cos 2Bcossin2，2sinsinsin2，sin0或sin1，B.解得：B.3.三角变换、向量、三角形问题的综合高考会将几方面结合起来命题，三角函数主要考察它的图象、常见性质；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质；向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线，体现向量的工具作用，三角变换主要考察求值、化简、变形【例3】(扬州市2017届高三上学期期中)在ABC中，AB6，AC3，18.(1)求BC的长；(2)求tan 2B的值解(1)因为ABACcos A18，且AB6，AC3，BC3.(2)法一：在ABC中，AB6，AC3，BC3，cos B，又B(0，)，所以sin B，所以tan B，所以tan 2B.法二：由AB6，AC3，ABACcos A18可得cos A，又A(0，)，所以A.在ABC中，所以sin B，又B，所以cos B，所以tan B，所以tan 2B.4实际应用中的三角形问题在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题，可以借助平面图形，将上述量放在一个三角形中，借助解三角形知识达到解决问题的目的【例4】(2017江苏省淮安市高考数学二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东30方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行图1(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin 17，5.744 6)(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由解(1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图)，则AC3BC.ABC中，由正弦定理可得sinBAC，BAC17，缉私艇应向北偏东47方向追击，ABC中，由余弦定理可得cos 120，BC1.686 15.B到边界线l的距离为3.84sin 301.8，1.686 151.8，能用最短时间在领海内拦截成功(2)以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B(2,2)，设缉私艇在P(x，y)处与走私船相遇，则PA3PB，即x2y29(x2)2(y2)2，即22，P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，圆心到边界线l：x3.8的距离为1.55，大于圆的半径，无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截5综合上述几个方面的阐述，解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键6向量与三角形问题的结合向量具有“双重身份”，既可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则，这为向量和三角形问题的结合，提供了很好的几何背景61向量与三角形谈“心”内心(三角形内切圆圆心 )：三角形三条内角平分线的交点；外心(三角形外接圆的圆心)：三角形各边中垂线的交点；垂心：三角形各边上高的交点；重心：三角形各边中线的交点，用向量形式可表示为如下形式：若P是ABC内的一点，P是ABC的内心；若D、E两点分别是ABC的边BC、CA上的中点，且P是ABC的外心；若0，则G是ABC的重心；若P是ABC所在平面内的一点，且，则P是ABC的垂心【例5】(2017江苏省泰州市高考数学一模)在ABC中，若2，则的值为_. 【导学号：56394090】解析在ABC中，设三条边分别为a、b、c，三角分别为A、B、C，由2，得accos B2bccos Abacos C，由余弦定理得：(a2c2b2)(b2c2a2)(b2a2c2)，化简得2，由正弦定理得.故答案为：.答案62判断三角形形状三角形的边可以看做向量的模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算，结合平面几何知识来判断三角形的形状【例6】ABC的三个内角A、B、C成等差数列，()0，则ABC一定是_三角形解析ABC的三个内角A、B、C成等差数列，则有2BAC，所以B，设D是AC边的中点，则2，所以20，所以ABC一定是等边三角形答案等边7