（江苏专用）2019高考数学二轮复习 专题六 第3讲 基本不等式及其应用学案 理

第3讲基本不等式及其应用高考定位高考对本内容的考查主要有(1)基本不等式的证明过程，A级要求；(2)利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，C级要求.真 题 感 悟1.(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_.解析一年的总运费与总存储费用之和为y64x4x2240，当且仅当4x，即x30时，y有最小值240.答案302.(2018江苏卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_.解析因为ABC120，ABC的平分线交AC于点D，所以ABDCBD60，由三角形的面积公式可得acsin 120a1sin 60c1sin 60，化简得acac，又a0，c0，所以1，则4ac(4ac)5529，当且仅当c2a时取等号，故4ac的最小值为9.答案93.(2016江苏卷)已知函数f(x)2x，若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，则实数m的最大值为_.解析由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，m对于xR恒成立.又f(x)24，且4，m4，故实数m的最大值为4.答案44.(2016江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是_.解析因为sin A2sin Bsin C，所以sin(BC)2sin Bsin C，所以sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，等式两边同时除以cos Bcos C，得tan Btan C2tan Btan C.又因为tan Atan(BC)，所以tan Atan Btan Ctan A2tan Btan C，即tan Btan C(tan A2)tan A.因为A，B，C为锐角，所以tan A，tan B，tan C0，且tan A2，所以tan Btan C，所以原式.令tan A2t(t0)，则t48，当且仅当t2，即tan A4时取等号.故tan Atan Btan C的最小值为8.答案8考 点 整 合1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号；(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号；(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号；(3)(a，bR)，当且仅当ab时取等号；(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)；(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).热点一配凑法求最值【例1】 (1)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.(2)(2018南京、盐城一模)若实数x，y满足xy0，且log2xlog2y1，则的最小值为_.解析(1)设矩形的长为x m，宽为y m，则x2y30.所以Sxyx(2y)，当且仅当x2y，即x15，y时取等号.(2)因为log2xlog2ylog2xy1，所以xy2.因为xy0，所以xy0.所以xy24，当且仅当xy2时取等号.答案(1)15(2)4探究提高(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)(2017宿迁期末)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a_.(2)若对x1，不等式x1a恒成立，则实数a的取值范围是_.解析(1)当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3.(2)因为函数f(x)x1在1，)上单调递增，所以函数g(x)x12在0，)上单调递增，所以函数g(x)在1，)的最小值为g(1)，因此对x1不等式x1a恒成立，所以ag(x)min.答案(1)3(2)热点二常数代换或消元法求最值【例2】 (1)(2018苏州期末)已知正实数a，b，c，满足1，1，则c的取值范围是_.(2)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_.解析(1)因为ab(ab)24，)，所以，从而1，得c.(2)法一由x3y5xy及x，y均为正数可得1，3x4y(3x4y)5.(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.答案(1)(2)5探究提高条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.【训练2】 (1)设a0，b0.若ab1，则的最小值是_.(2)(2018南京模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.解析(1)由题意2224，当且仅当，即ab时，取等号，所以最小值为4.(2)法一(消元法)由已知得x.因为x0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，当且仅当3(y1)，即y1，x3时，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)，当且仅当x3y时等号成立.设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.答案(1)4(2)6热点三基本不等式的综合应用【例3】 (1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则的最小值为_.(2)(2016苏州暑假测试)设正四面体ABCD的棱长为，P是棱AB上的任意一点(不与点A，B重合)，且点P到平面ACD，平面BCD的距离分别为x，y，则的最小值是_.解析(1)由题意得z2xy，lg x0，lg y0，2，当且仅当，即lg y2lg x，即yx2时取等号.(2)过点A作AO平面BCD于点O，则O为BCD的重心，所以OB，所以AO2.又VPBCDVPACDVABCD，所以SBCDySACDxSBCD2，即xy2.所以(xy)2，当且仅当x3，y1时取等号.答案(1)(2)2探究提高基本不等式在涉及求最值的问题中常常与数列、几何、函数性质等知识点综合命题，体现了基本不等式的工具作用，在涉及求含参的问题中常常与恒成立问题、存在性问题综合考查，但要注意等号的条件.【训练3】 (1)函数y12x(x0)的值域为_.(2)若不等式x2a(xy)对任意的实数x，y(0，)恒成立，则实数a的最小值为_.解析(1)x0，y12x1(2x)1212，当且仅当x时取等号，故函数y12x(x0)的值域为12，).(2)由题意得a恒成立.令t(t0)，则a，再令12tu(u1)，则t，故a.因为u2(当且仅当u时等号成立)，故u222，从而0，故a，即amin.答案(1)12，)(2)1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.基本不等式作为求最值的一个有力工具常与其他知识点综合命题，注意含参数问题在恒成立、存在性问题中的合理转化.一、填空题1.(2018苏、锡、常、镇四市调研)已知a0，b0，且，则ab的最小值是_.解析因为2，所以ab2，当且仅当时，取等号.答案22.若0x1，则当f(x)x(43x)取得最大值时x的值为_.解析因为0x0，8b0，所以2a222，当且仅当2a，即a3，b1时取等号.答案5.(2017北京卷)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_.解析法一x0，y0且xy1.2xy1，从而0xy，因此x2y2(xy)22xy12xy，所以x2y21.法二可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围，AB上的点到原点距离的范围为，则x2y2的取值范围为.答案6.若对于任意x0，a恒成立，则实数a的取值范围是_.解析，因为x0，所以x2(当且仅当x1时取等号)，则，即的最大值为，故a.答案7.(2018盐城中学月考)设a是12b与12b的等比中项，则的最大值为_.解析依题意，a214b2，故a24b214ab，故ab，当且仅当或时，等号成立.答案8.(2018苏北四市调研)已知a，bR，ab4，则的最大值为_.解析法一(ab作为一个变元)ab4，.设t9ab5，则，当且仅当t280时等号成立，所以，的最大值为.法二(均值换元)因为ab4，所以，令a2t，b2t，则f(t)，令ut255，则g(u)，当且仅当u4时等号成立.所以的最大值为.答案二、解答题9.(2017南京、盐城调研)设函数f(x)ax2(b2)x3(a0).(1)若不等式f(x)0的解集为(1，3)，求a，b的值；(2)若f(1)2，a0，b0，求的最小值.解(1)由题意得即解得(2)因为f(1)2，所以ab1，所以(ab)59，当且仅当b2a时取等号.所以，的最小值为9.10.(1)当点(x，y)在直线x3y40上移动时，求3x27y2的最小值；(2)已知x，y都是正实数，且xy3xy50，求xy的最小值.解(1)由x3y40，得x3y4，所以3x27y23x33y222222220，当且仅当3x33y且x3y40，即x2，y时取等号，此时所求的最小值为20.(2)由xy3xy50，得xy53xy，所以25xy53xy，所以3xy250，所以(1)(35)0，所以，即xy，当且仅当xy时取等号，故xy的最小值是.11.已知函数f(x)(xa，a为非零常数).(1)解不等式f(x)a时，f(x)有最小值为6，求a的值.解(1)f(x)x，即x，整理为(ax3)(xa)0时，(xa)0，解集为；当a0，解集为.(2)设txa，则xta(t0).f(t)t2a22a22a.当且仅当t，即t时，等号成立，即f(x)有最小值22a.依题意有22a6，解得a1.10