（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第十一章 推理与证明、算法、复数 第1节 合情推理与演绎推理学案 文 新人教A版

1第第 1 1 节节合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理最新考纲1.了解合情推理的含义， 能利用归纳和类比等进行简单的推理， 了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知 识 梳 理1.合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质， 推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、 由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()解析(1)类比推理的结论不一定正确.2(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.答案(1)(2)(3)(4)2.数列 2，5，11，20，x，47，中的x等于()A.28B.32C.33D.27解析523，1156，20119，推出x2012，所以x32.答案B3.正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确解析f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确.答案C4.(2018咸阳模拟)观察下列式子： 122， 12 2392， 12 23 348，12233445252，根据以上规律，第n(nN N*)个不等式是_.解 析根 据 所 给 不 等 式 可 得 第n个 不 等 式 是12 23 n（n1）（n1）22.答案12 23n（n1）0(i1，2，3，n)，观察下列不等式：a1a22a1a2；a1a2a333a1a2a3；a1a2a3a444a1a2a3a4；照此规律，当nN N*，n2 时，a1a2ann_.解析(1)由题意，如果 2n1 是质数，则 2n1(2n1)是完全数，例如：6212221(221)，2822232422(231)，；若 2n1(2n1)8 128，解得n7，所以 8 128 可表示为 26(271)2627212.(2)根据题意有a1a2annna1a2an(nN N*，n2).答案(1)2627212(2)na1a2an规律方法归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象， 采用不完全归纳法， 找出数列的项与项数的关系，列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论， 并用赋值检验法验证其真伪性.【训练 1】 (1)(2018郑州一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列an，那么a10的值为()4A.45B.55C.65D.66(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1，3，6，10，第n个三角形数为n（n1）212n212n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)12n212n，正方形数N(n，4)n2，五边形数N(n，5)32n212n，六边形数N(n，6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)_.解析(1)第 1 个图中，小石子有 1 个，第 2 个图中，小石子有 312 个，第 3 个图中，小石子有 6123 个，第 4 个图中，小石子有 101234 个，故第 10 个图中，小石子有 123101011255 个，即a1055.(2)三角形数N(n，3)12n212nn2n2，正方形数N(n，4)n22n20n2，五边形数N(n，5)32n212n3n2n2，六边形数N(n，6)2n2n4n22n2，k边形数N(n，k)（k2）n2（k4）n2，所以N(10，24)22102201022 20020021 000.答案(1)B(2)1 000考点二类比推理【例 2】 (1)(一题多解)若数列an是等差数列， 则数列bnbna1a2ann也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式5应为()A.dnc1c2cnnB.dnc1c2cnnC.dnncn1cn2cnnnD.dnnc1c2cn(2)(2018湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家， 是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是： 两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等， 则这两个几何体体积相等.设由椭圆y2a2x2b21(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于_.解析(1)法一从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dnnc1c2cn.法二若an是等差数列，则a1a2anna1n（n1）2d，bna1（n1）2dd2na1d2，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncn1q12(n1)cn1qn（n1）2，dnnc1c2cnc1qn12，即dn为等比数列，故选 D.(2)椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点， 圆柱上底面为底面的圆锥， 根据祖暅原理得出椭球体的体积V2(V圆柱V圆锥)2b2a13b2a43b2a.答案(1)D(2)43b2a规律方法1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比推理常见的情形有平面与空间类比； 低维的与高维的类比； 等差数列与等比数列类比；6数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.【训练 2】 (1)(2017安徽江南十校联考)我国古代数学名著 九章算术 中割圆术有： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2 2 2中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 2xx确定出来x2，类似地不难得到 11111()A. 512B.512C.1 52D.1 52(2)如图(1)所示，点O是ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1，则OA1AA1OB1BB1OC1CC11，类比猜想：点O是空间四面体VBCD内的任意一点，如图(2)所示，连接VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1， 则有_.解析(1)令 11111x(x0)， 即 11xx， 即x2x10， 解得x1 52(x1 52舍)，故 111111 52，故选 C.(2)利用类比推理，猜想应有OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD11.用“体积法”证明如下：OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD1VOBCDVVBCDVOVCDVBVCDVOVBDVCVBDVOVBCVDVBCVVBCDVVBCD1.答案(1)C(2)OV1VV1OB1BB1OC1CC1OD1DD11考点三演绎推理【例 3】 数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1n2nSn(nN N*).证明：7(1)数列Snn是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1n2nSn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.Sn1n12Snn，又S1110，(小前提)故Snn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知Sn1n14Sn1n1(n2)，Sn14(n1)Sn1n14n12n1Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法演绎推理是从一般到特殊的推理； 其一般形式是三段论， 应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.【训练 3】 (2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1 个优秀，1 个良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩、丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩.答案D8基础巩固题组(建议用时：30 分钟)一、选择题1.观察一列算式：1 1，1 2，2 1，1 3，2 2，3 1，1 4，2 3，3 2，4 1，则式子 3 5 是第()A.22 项B.23 项C.24 项D.25 项解析两数和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有 4 个，和为 6的有 5 个，和为 7 的有 6 个，前面共有 21 个，3 5 为和为 8 的第 3 项，所以为第 24 项，故选 C.答案C2.命题“有些有理数是无限循环小数， 整数是有理数， 所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”，但推理形式错误D.使用了“三段论”，但小前提错误解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.答案C3.观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理得：若定义在 R R 上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()A.f(x)B.f(x)C.g(x)D.g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(x)g(x).答案D4.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A.28B.76C.123D.199解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它9前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.答案C5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“a ab bb ba a”；“(mn)tmtnt”类比得到“(a ab b)c ca ac cb bc c”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(a ab b)c ca a(b bc c)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p p0 0，a ap px xp pa ax x”；“|mn|m|n|”类比得到“|a ab b|a a|b b|”；“acbcab”类比得到“a ac cb bc ca ab b”.以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析正确；错误.答案B6.(2017宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是()A.甲，丙B.乙，丁C.丙，丁D.乙，丙解析甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为 D.答案D7.(2018郑州调研)平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，凸六边形有 9条对角线，以此类推，凸 13 边形对角线的条数为()A.42B.65C.143D.169解析可以通过列表归纳分析得到.凸多边形4567810对角线条数223234234523456凸 13 边形有 234111310265 条对角线.答案B8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是 1 个点(算第 1 层)，第 2 层每边有 2 个点，第 3层每边有 3 个点， ， 依此类推， 如果一个六边形点阵共有 169 个点， 那么它的层数为()A.6B.7C.8D.9解析由题意知，第 1 层的点数为 1，第 2 层的点数为 6，第 3 层的点数为 26，第 4 层的点数为 36，第 5 层的点数为 46，第n(n2，nN N*)层的点数为 6(n1).设一个点阵有n(n2，nN N*)层， 则共有的点数为 16626(n1)166（n1）2(n1)3n23n1，由题意得 3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以n8，故共有8 层.答案C二、填空题9.仔细观察下面和的排列规律：， 若依此规律继续下去， 得到一系列的和，那么在前 120 个和中，的个数是_.解析进行分组|，则前n组两种圈的总数是f(n)234(n1)n（n3）2， 易知f(14)119，f(15)135，故n14.答案1410.观察下列等式：1312，132332，13233362，13233343102，根据上述规律，第n个等式为_.解析观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为 1323n3n（n1）22n2（n1）24.11答案1323n3n2（n1）2411.(2018重庆模拟)在等差数列an中，若公差为d，且a1d，那么有amanamn，类比上述性质，写出在等比数列an中类似的性质：_.解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积， 故在等比数列中， 类似的性质是“在等比数列an中，若公比为q，且a1q，则amanamn.”答案在等比数列an中，若公比为q，且a1q，则amanamn12.已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数yax(a1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论ax1ax22ax1x22成立.运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数ysinx(x(0，)的图象上任意不同两点，则类似地有_成立.解析对于函数yax(a1)的图象上任意不同两点A，B，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论ax1ax22ax1x22成立；对于函数ysinx(x(0，)的图象上任意不同的两点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，类比可知应有sinx1sinx22sinx1x22成立.答案sinx1sinx22sinx1x22能力提升题组(建议用时：15 分钟)13.(2017湖北八校二联)有 6 名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4 号或 5 号选手得第一名；观众乙猜测：3 号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6 号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6 号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果，此人是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析根据题意，6 名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：1 号2 号3 号4 号5 号6 号甲不可能不可能不可能可能可能不可能乙可能可能不可能可能可能可能12丙可能可能不可能不可能不可能可能丁可能可能可能不可能不可能不可能由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选 D.答案D14.(2018南昌调研)设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为Tn，并且满足条件：a11，a2 016a2 0171，a2 0161a2 01710，下列结论中正确的是()A.q0C.T2 016是数列Tn中的最大项D.S2 016S2 017解析由a11，a2 016a2 0171 得q0，由a2 0161a2 01711 得a2 0161，a2 0171，0qb0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是x0 xa2y0yb21，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是_.解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是x1xa2y1yb21，x2xa2y2yb21.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有x1x0a2y1y0b21，x2x0a2y2y0b21，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线x0 xa2y0yb21 上，故切点弦P1P2所在的直线方程是x0 xa2y0yb21.答案x0 xa2y0yb2116.(2017北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；13(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为_.该小组人数的最小值为_.解析设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得xy，yz，2zx，且x，y，z均为正整数.当z4 时，8xy4，x的最大值为 7，y的最大值为 6，故女学生人数的最大值为 6.xyzx2，当x3 时，条件不成立，当x4 时，条件不成立，当x5 时，5yz52，此时z3，y4.该小组人数的最小值为 12.答案612