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11.3导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程知识点一导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线思考1割线PPn的斜率kn是多少？答案割线PPn的斜率kn.思考2当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？答案kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)切线的定义：设PPn是曲线yf(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线yf(x)在点P处的切线(2)导数f(x0)的几何意义：导数f(x0)表示曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0) .(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)知识点二导函数思考已知函数f(x)x2，分别计算f(1)与f(x)，它们有什么不同答案f(1) 2.f(x) 2x，f(1)是一个值，而f(x)是一个函数梳理对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数yf(x)的导函数(简称导数), 即f(x)y .特别提醒：区别联系f(x0)f(x0)是具体的值，是数值在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f(x)f(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数1函数在一点处的导数f(x0)是一个常数()2函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值()3直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点()类型一求切线方程例1已知曲线C：yx3.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程考点求函数在某点处的切线方程题点曲线的切线方程解将x2代入曲线C的方程得y4，切点P(2,4) 42x(x)24，k4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程答案3解析 (4x)4，k4.曲线yx21在点(2,5)处的切线方程为y54(x2)，即y4x3.切线与y轴交点的纵坐标是3.例2求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程考点求曲线在某点处的切线方程题点曲线的切线方程解设切点为(x0，xx01)，则切线的斜率为k 2x01.又k，2x01.解得x00或x02.当x00时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为y0x1，即xy10.当x02时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30.故所求切线方程为xy10或3xy30.反思与感悟过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，f(x0)(2)建立方程f(x0).(3)解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程跟踪训练2求函数yf(x)x33x2x的图象上过原点的切线方程考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程解设切点坐标为(x0，y0)，则y0x3xx0，yf(x0x)f(x0)(x0x)33(x0x)2(x0x)(x3xx0)3xx3x0(x)26x0x(x)33(x)2x，3x3x0x6x01(x)23x，f(x0) 3x6x01.切线方程为y(x3xx0)(3x6x01)(xx0)切线过原点，x3xx03x6xx0，即2x3x0，x00或x0，故所求切线方程为xy0或5x4y0.类型二利用图象理解导数的几何意义例3已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(2)f(3)f(2)f(3)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案C解析kABf(3)f(2)，f(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2)处的切线的斜率，f(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3)处的切线的斜率，根据图象可知0f(3)f(3)f(2)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案B解析切线x2y30的斜率为，f(x0)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案B解析由导数的几何意义，知f(xA)，f(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f(xA)0)，g(x)x3bx，若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处有公切线，求a，b的值考点求函数在某点处的切线方程题点曲线的切线方程的应用解f(x) 2ax，f(1)2a，即切线斜率k12a.g(x) 3x2b，g(1)3b，即切线斜率k23b.两曲线在交点(1，c)处有公切线，2a3b.又a11b，即ab，故可得17
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