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2.3.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题知识点一双曲线的定义思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案如图，曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线知识点二双曲线的标准方程思考双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中，b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b大小不确定梳理(1)双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2b2c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(3)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()类型一双曲线定义的应用例1(1)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11B9C5D3考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案B解析由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6，即|3|PF2|6，解得|PF2|9(负值舍去)，故选B.(2)设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4B8C24D48考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案C解析由题意，得解得又由|F1F2|10，可得PF1F2是直角三角形，则|PF1|PF2|24.反思与感悟焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By21(AB0)跟踪训练1在ABC中，已知|AB|4，A(2，0)，B(2，0)，且内角A，B，C满足sinBsinAsinC，求顶点C的轨迹方程考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用解由sin Bsin Asin C及正弦定理，可得ba，从而有|CA|CB|AB|2|AB|，由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支a，c2，b2c2a26，顶点C的轨迹方程为1(x)类型二求双曲线的标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦距为26，且经过点M(0,12)；(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，4)，.考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得双曲线的标准方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2ka2)(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值(4)结论：写出双曲线的标准方程跟踪训练2(1)求以椭圆1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P，Q两点，求双曲线的标准方程考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，3)，F2(0,3)设双曲线方程为1(a0，b0)，将点A(4，5)代入双曲线方程，得1.又a2b29，解得a25，b24，所以双曲线的标准方程为1.(2)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，所以解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P，Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为1.综上，双曲线的标准方程为1.类型三双曲线定义及标准方程的应用例3在相距2000m的两个哨所A，B，听到远处传来的炮弹爆炸声已知当时的声速是330m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程考点双曲线的标准方程的求法题点定义法求双曲线的标准方程解设爆炸点为P，由已知可得|PA|PB|33041 3200.因为|AB|2 0001 320，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上，建立如图所示的平面直角坐标系，使A，B两点在x轴上，以线段AB的中点为坐标原点由2a1 320,2c2 000，得a660，c1 000，b2c2a2564 400.因此，点P所在曲线的方程是1(x660)反思与感悟可以结合双曲线的性质，建立平面直角坐标系，然后结合双曲线的定义，建立关系式，然后化简，求出相应的方程跟踪训练3已知椭圆1与双曲线1有交点P，且有公共的焦点，且F1PF22，求证：tan.考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数证明如图所示，设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，则在PF1F2中，对于双曲线有|r2r1|2m，cos21，1cos2，sin.则在PF1F2中，对于椭圆有r1r22a，cos21，1cos2，cos，tan.1若方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A1m1Cm3Dm0，即m1.2已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C直线D一条射线考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案D解析F1，F2是定点，且|F1F2|10，所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线3(2018届浙江东阳中学期中)ABC的顶点为A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是()A.1B.1C.1(x3) D.1(x4)答案C解析由条件可得，圆与x轴的切点为T(3,0)，由相切的性质得|CA|CB|TA|TB|82610|AB|，因此点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支由2a6,2c10，得a3，b4，所求的双曲线方程为1.考虑到点C不在直线AB上，故选C.4经过点P(3,2)和Q(6，7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_考点双曲线标准方程的求法题点待定系数法求双曲线标准方程答案1解析设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得故双曲线的标准方程为1.5椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值为_考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案1解析由题意知解得a1.1双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上；若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上(2)双曲线定义的双向运用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；若动点M在双曲线上，则|MF1|MF2|2a.2求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn5”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案A解析当k5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k5或k2.故选A.4已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是()A1B1CD.考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案B解析由焦点坐标，知焦点在y轴上，m0，b0)，则a2b25.线段PF1的中点的坐标为(0,2)，点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，得1.由解得a21，b24，双曲线的方程为x21.6已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2等于()A.B.C.D.考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案C解析由双曲线定义知，|PF1|PF2|2，又|PF1|2|PF2|，|PF2|2，|PF1|4，|F1F2|2c24.cosF1PF2.7已知双曲线C：x21的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M(0,2)，则PFM的周长的最小值为()A24B42C3D23考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案A解析依题意可知，c2，a1，所以|MF|2，|PM|PF|PM|PF1|2a，F1为左焦点，当M，P，F1三点共线时，|PM|PF1|最小，最小值为|MF1|，|MF1|2，故周长的最小值为22224.二、填空题8已知F1，F2是双曲线1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60，那么|PF2|QF2|PQ|的值为_考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案16解析在双曲线1中，2a8，由双曲线定义，得|PF2|PF1|8，|QF2|QF1|8，所以|PF2|QF2|PQ|(|PF2|PF1|)(|QF2|QF1|)16.9若曲线C：mx2(2m)y21是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为_考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案(2，)解析由曲线C：mx2(2m)y21是焦点在x轴上的双曲线，可得1，即有m0，且m20，解得m2.10已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且0，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为_考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程答案y21解析由题意可设双曲线1(a0，b0)由0，得PF1PF2.根据勾股定理，得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220.根据双曲线定义有|PF1|PF2|2a.两边平方并代入|PF1|PF2|2，得20224a2，解得a24，从而b2541，所以双曲线方程为y21.11过双曲线1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为_考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案，解析因为双曲线方程为1，所以c13.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则F1(13,0)，F2(13,0)设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(13，y)(y0)，则1，所以y，即|AF1|.又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24.即所求距离分别为，.三、解答题12已知与双曲线1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程考点双曲线标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解已知双曲线1，由c2a2b2，得c216925，c5.设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)依题意知b225a2，故所求双曲线方程可写为1.点P在所求双曲线上，1，化简得4a4129a21250，解得a21或a2.当a2时，b225a2250，不合题意，舍去，a21，b224，所求双曲线的标准方程为x21.13已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程考点双曲线标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，0，则MF1MF2，设|MF1|m，|MF2|n，由双曲线定义，知mn2a8，又m2n2(2c)280，由得mn8，mn4|F1F2|h，h.(2)设所求双曲线C的方程为1(416)，由于双曲线C过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)，所求双曲线C的方程为1.四、探究与拓展14若双曲线y21(n1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积为()A1B.C2D4考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案A解析设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2，已知|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|，|PF1|PF2|2.又|F1F2|2，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1F2为直角三角形，且F1PF290，于是|PF1|PF2|21.故选A.15已知OFQ的面积为2，且m，其中O为坐标原点(1)设m4，求与的夹角的正切值的取值范围；(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|c，mc2，当|取得最小值时，求此双曲线的标准方程考点双曲线标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)因为所以tan .又m4，所以1tan 4，即tan 的取值范围为(1,4)(2)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，Q(x1，y1)，则(x1c，y1)，所以SOFQ|y1|2，则y1.又m，即(c,0)(x1c，y1)c2，解得x1c，所以|2，当且仅当c4时，取等号，|最小，这时Q的坐标为(，)或(，)因为所以于是所求双曲线的标准方程为1.15
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