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第6讲双曲线板块一知识梳理自主学习必备知识考点1双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0：(1)当ac时，P点不存在考点2双曲线的标准方程和几何性质 必会结论双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线(3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a2|AB|.(6)双曲线的离心率公式可表示为e.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两点F1(1,0)，F2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)与双曲线1(mn0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)()(4)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编双曲线y2x22的渐近线方程是()Ayx ByxCyx Dy2x答案A解析由题意知1，yx.32018广东模拟已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由题意设C的方程为1(a0，b0)由右焦点为F(3,0)，可知c3，又因为离心率等于，所以，所以a2.由c2a2b2，知b25，故双曲线C的方程为1.故选B.42018福州质检设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点若点P在双曲线上，且|PF1|5，则|PF2|()A5 B3 C7 D3或7答案D解析|PF1|PF2|2，|PF2|7或3.52017北京高考若双曲线x21的离心率为，则实数m_.答案2解析由双曲线的标准方程知a1，b2m，c，故双曲线的离心率e，1m3，解得m2.62017全国卷双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.答案5解析双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.板块二典例探究考向突破考向双曲线的定义及标准方程 例1(1)2017天津高考已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1答案B解析由题意可得，即ca.又左焦点F(c,0)，P(0,4)，则直线PF的方程为，化简即得yx4.结合已知条件和图象易知直线PF与yx平行，则，即4abc.故解得故双曲线方程为1.故选B.(2)2017全国卷已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由yx可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.触类旁通(1)若涉及双曲线上的点，在解题时要首先想到双曲线上的任意点均满足双曲线的定义(2)利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0)【变式训练1】(1)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由已知可得双曲线的焦距2c10，a2b225，排除C，D，又由渐近线方程为yxx，得，解得a220，b25.(2)求与双曲线1有共同渐近线，并且经过点(3,2)的双曲线的方程解设所求双曲线方程为，将点(3,2)代入双曲线方程，得，解得，所求双曲线方程为1.考向双曲线的几何性质命题角度1双曲线的离心率问题 例2(1)2017全国卷若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)答案C解析由题意得双曲线的离心率e.e21.a1，01，112，1e0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_答案2解析由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.因为2|AB|3|BC|，所以6c，又b2c2a2，所以2e23e20，解得e2，或e(舍去)命题角度2双曲线的渐近线问题 例3(1)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案C解析e，即.c2a2b2，.双曲线的渐近线方程为yx，渐近线方程为yx.故选C.(2)2018深圳调研在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y0，则它的离心率为()A. B. C. D2答案A解析依题意设双曲线的方程是1(其中a0，b0)，则其渐近线方程是yx，由题知，即b2a，因此其离心率e.触类旁通与双曲线的几何性质有关的问题(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围【变式训练2】(1)若双曲线C：1的焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且sinMF1F2，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案D解析由题意知，F1MF2，不妨设点M在第一象限，则解得又|MF1|2|MF2|2|F1F2|2，即16a24a24c2，所以e.故选D.(2)已知双曲线1的两条渐近线与以椭圆1的左焦点为圆心、为半径的圆相切，则渐近线方程为_答案4x3y0解析双曲线的渐近线方程为ax3y0，椭圆的左焦点为F(4,0)，因为渐近线ax3y0与以F为圆心、为半径的圆相切，所以，解得a4，故渐近线方程为4x3y0.考向双曲线中焦点三角形 例4(1)已知F1，F2是双曲线y21的两个焦点，P是双曲线上一点，且F1PF290，则F1PF2的面积是()A1 B. C2 D.答案A解析解法一：设|PF1|d1，|PF2|d2，由双曲线的定义可知|d1d2|4.又F1PF290，于是有dd|F1F2|220，因此，SF1PF2d1d2(dd|d1d2|2)1.解法二：由y21，知|F1F2|2.设P点的纵坐标为yP，由于F1PF290，则P在以|F1F2|为直径的圆上，即在x2y25上由消去x得|yP|.故F1PF2的面积S|F1F2|yP|1.(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，P点在C上，F1PF260，则P到x轴的距离为()A. B. C. D.答案B解析设|PF1|m，|PF2|n，不妨设mn，P(x，y)，|PF1|PF2|mn2.在F1PF2中，由余弦定理得(2)2m2n22mncos60，8(mn)2mn.mn4.由F1PF2的面积相等，得 2|y|mnsin60，即|y|4.|y|.即P到x轴的距离为.触类旁通【变式训练3】(1)2018哈尔滨质检已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48 B24 C12 D6答案B解析由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F2|PF1|PF2|24.(2)2016全国卷已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，) C(0,3) D(0，)答案A解析解法一：由题意可知：c2(m2n)(3m2n)4m2，其中c为半焦距，2c22|m|4，|m|1.方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，m2n3m2，1n0，b0)交于A，B两点，且|AB|，又l关于直线l1：yx对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率e；(2)求双曲线C的方程解(1)设双曲线C：1过第一、三象限的渐近线l1：0的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有QPOPOMOPM.又l：y(x2)的倾斜角为60，则260，所以tan30.于是e211，所以e.(2)由于，于是设双曲线方程为1(k0)，即x23y23k2.将y(x2)代入x23y23k2中，得x233(x2)23k2.化简得到8x236x363k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|22.解得k21.故所求双曲线C的方程为y21.触类旁通求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是：(1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题(2)利用点差法【变式训练4】设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，取，求a的值解(1)将yx1代入双曲线y21(a0)中，得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a且e，即e(，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为，所以(x1，y11)(x2，y21)，由此得x1x2.由于x1，x2是方程(1a2)x22a2x2a20的两根，且1a20，所以x1x2x2，x1x2x，消去x2得，由a0，解得a.核心规律1.当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为1(mn0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2By21(AB0，b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为(0)3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程0就是双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程满分策略1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2，y2前系数的正负2.关于双曲线中离心率范围问题，不要忘记双曲线离心率固有范围e1.3.双曲线1(a0，b0)的渐近线方程是yx，1(a0，b0)的渐近线方程是yx.4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5.当直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.板块三启智培优破译高考题型技法系列 15函数方程数学思想方法的应用(1)2015全国卷已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_解题视点利用双曲线定义寻求APF周长最小时P点位置解析设F1为双曲线的左焦点，由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长为|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当|AP|PF1|最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.答案12(2)已知双曲线1，其中a1，求e的取值范围解题视点带参量的双曲线问题，需寻找e与参量的依存关系，即函数关系，e的范围由ef(a)来确定解e212，a1，10111，124，即2e25，e0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_答案2解析不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y(xc)，与C交于P(x0，y0)x02a，y0(2ac)又P(x0，y0)在双曲线C上，1，整理得a24acc20，设双曲线C的离心率为e，则14ee20.e12(舍去)，e22，即双曲线C的离心率为2.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018安徽模拟下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21Cy21 D.x21答案D解析由题意，选项A，B的焦点在x轴，故排除A，B；D项的渐近线方程为x20，即y2x.22018湖北模拟若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为yx，点(3，4)在渐近线上，又a2b2c2，c2a2a2a2，e.故选D.32017全国卷已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A. B. C. D.答案D解析因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2,0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2，yP)因为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131.故选D.42018广东模拟已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析因为双曲线C的右焦点为F2(5,0)，所以c5.因为离心率e，所以a4.又a2b2c2，所以b29.故双曲线C的方程为1.5P为双曲线1(a0，b0)右支上的一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)答案B解析如图，由题意可知1e0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且PF1F2，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析根据已知可得，|PF1|且|PF2|，故2a，所以2，双曲线的渐近线方程为yx.72018海口调研已知点F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，且|PF2|2|PF1|，若PF1F2为等腰三角形，则双曲线的离心率为_答案2解析|PF2|PF1|2a，|PF2|2|PF1|，|PF2|4a，|PF1|2a，PF1F2为等腰三角形，|PF2|F1F2|，即4a2c，2.82016北京高考双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.答案2解析由OA，OC所在直线为渐近线，且OAOC，知两条渐近线的夹角为90，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2y2a2.OB是正方形的对角线，且点B是双曲线的焦点，则c2，根据c22a2可得a2.9设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解(1)由题意知a2，又一条渐近线为yx，即bxay0.由焦点到渐近线的距离为，得.b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840，则x1x216，y1y2(x1x2)412.t4，点D的坐标为(4，3)102018广西模拟已知双曲线方程2x2y22.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)求过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由解(1)由2221272可知点A在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A(2,1)为中点的弦两端点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有x1x24，y1y22.由对称性知x1x2.P1、P2在双曲线上，两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.x1x24，y1y22.4.所求中点弦所在直线方程为y14(x2)，即4xy70.(2)由2121212知B(1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间)可假定直线l存在，采用(1)的方法求出l的方程为y12(x1)，即2xy10.联立方程组消y，得2x24x30.(4)242380，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21答案D解析根据题意画出草图如图所示.由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60，c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上，tan60.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.故选D.2已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由已知易得l的斜率为kkFM1.设双曲线方程为1(a0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减并结合x1x224，y1y230，得，从而1，即4b25a2.又a2b29，解得a24，b25，故选B.32018武汉模拟过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，当ABx轴，称|AB|为双曲线的通径若过焦点F的所有焦点弦AB中，其长度的最小值为，则此双曲线的离心率的范围为()A(1，) B(1，C(，) D，)答案B解析当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小，令xc，可得yb，即有最小值为；当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，即为实轴，最小为2a.由题意可得2a，即为a2b2c2a2，即有ca，则离心率e(1，42018承德模拟已知点M(2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|PN|2，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值解(1)由|PM|PN|2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a.又焦距2c4，所以虚半轴长b.所以W的方程为1(x)(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)当ABx轴时，x1x2，y1y2，从而x1x2y1y2xy2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm(k1)，与W的方程联立，消去y得(1k2)x22kmxm220，则x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2m22.又因为x1x20，所以k210.所以2.综上所述，当ABx轴时，取得最小值2.5已知双曲线：1(a0，b0)经过点P(2,1)，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.(1)求双曲线的方程；(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值解(1)双曲线1过点(2,1)，1.不妨设F为右焦点，则F(c,0)到渐近线bxay0的距离db，b1，a22，所求双曲线的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxm.将ykxm代入x22y22中，整理得(2k21)x24kmx2m220.x1x2，x1x2.0，(x12，y11)(x22，y21)0，(x12)(x22)(kx1m1)(kx2m1)0，(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)m22m50.将代入，得m28km12k22m30，(m2k1)(m6k3)0.而PAB，m6k3，从而直线AB的方程为ykx6k3.将ykx6k3代入x22y220中，判别式8(34k236k10)0恒成立，ykx6k3即为所求直线P到AB的距离d.212.d4，即点P到直线AB距离的最大值为4.20
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