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2.2.1椭圆的标准方程学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导过程(难点)2.掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程(重点)3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆自 主 预 习探 新 知椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系b2a2c2基础自测1判断正误：(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2b2c2.()(2)方程2x2y24表示的曲线不是椭圆()(3)圆是椭圆的特殊形式()(4)方程1(a0)，表示焦点在x轴上的椭圆()【解析】(1).由椭圆方程的推导过程可知a2b2c2.(2).把方程2x2y24化为标准形式为1，易知其表示的曲线是椭圆(3).由圆和椭圆的定义可知其错误(4).当a22a，即a2时，方程1(a0)才表示焦点在x轴上的椭圆，否则不是【答案】(1)(2)(3)(4)2a5，c3，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为_. 【导学号：95902077】【解析】a5，c3，b225916，又焦点在y轴上，椭圆的方程为1.【答案】1合 作 探 究攻 重 难求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过点A(，2)和点B(2，1)思路探究(1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解【自主解答】(1)方法一：由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的标准方程为1.方法二：由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)2a10，a5.又c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.方法三：由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)因为椭圆经过点(5,0)，所以a5，又因为椭圆的焦点为(4,0)和(4,0)，所以c4，所以b2a2c29，故所求椭圆的标准方程为1.(2)方法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有，解得.故所求椭圆的标准方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有，解得，因为ab0，所以无解所以所求椭圆的标准方程为1.方法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有，解得.所以所求椭圆的标准方程为1.规律方法1确定椭圆方程的“定位”与“定量”2巧设椭圆方程(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)(2)与椭圆1有相同焦点的椭圆方程可设为1.跟踪训练1求焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程【解】由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，.故所求椭圆的标准方程为x21.与椭圆有关的轨迹问题如图221所示，圆x2y21上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP，P为垂足M为直线PP上一点，且PMPP(为大于零的常数)当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？图221思路探究设出点M和点P的坐标，根据PMPP找到二者的联系，用点M的坐标表示点P的坐标，利用点P在圆上代入可得点M的轨迹方程，讨论可得点M的轨迹【自主解答】设M(x，y)，P(x0，y0)，PPx轴，且PMPP，xx0，yy0，即x0x，y0y. 点P(x0，y0)在圆x2y21上，xy1.把x0x，y0y代入上式得x21.当01时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当1时，点M的轨迹是圆；当1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆. 规律方法求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为(x，y)，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.跟踪训练2已知点P(x0，y0)是椭圆1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程【解】设M(x，y)，则点P在椭圆1上，1.把代入1，得1，即y21为所求椭圆的定义及标准方程的应用探究问题1椭圆的定义是什么？能否用一个数学式来表示椭圆的定义？【提示】平面内与两个定点F1，F2距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆即PF1PF22a(2aF1F2)2若点P是椭圆1(ab0)上的点，则PF1PF2的值为多少？【提示】 PF1PF22a.3在三角形PF1F2中，F1F2的长是多少？设F1PF2，结合余弦定理，PF1PF2能否用椭圆方程1(ab0)中的参数来表示？【提示】F1F22c.在三角形PF1F2中，由余弦定理可得F1FPFPF2PF1PF2cos (PF1PF2)22PF1PF2(1cos )，即4c24a22PF1PF2(1cos )，所以PF1PF2.4根据探究3的讨论，能把三角形PF1F2的面积表示出来吗？根据基本不等式，PF1PF2和PF1PF2存在不等关系吗？【提示】 SPF1PF2sin ，根据基本不等式PF1PF2a2.5设点F1，F2是椭圆1(ab0)的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则三角形PF1F2叫做该椭圆的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？ 【提示】要注意充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式，若涉及范围问题，往往要利用基本不等式解决已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上任意一点(1)若F1PF2，求PF1F2的面积；(2)求PF1PF2的最大值思路探究(1)在焦点三角形PF1F2中，应用椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式可求解；(2)利用椭圆的定义和基本不等式可求PF1PF2.【自主解答】(1)由椭圆的定义可知，PF1PF220， 在PF1F2中，由余弦定理，得F1FPFPF2PF1PF2cosF1PF2，即122PFPFPF1PF2. 2，并整理，得PF1PF2.S PF1PF2sin.(2)由1可知，a10，c6.PF1PF220，PF1PF2100.当且仅当PF1PF210时，等号成立PF1PF2的最大值是100.规律方法1椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P到两焦点F1，F2的距离的和为常数2a，则已知点P到一个焦点的距离就可以利用PF1PF22a求出该点到另一个焦点的距离2椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识3对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用Sabsin C把PF1PF2看成一个整体，运用公式PFPF(PF1PF2)22PF1PF2及余弦定理求出PF1PF2，而无需单独求出，这样可以减少运算量跟踪训练3已知椭圆1的左、右两个焦点分别是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是_. 【导学号：95902078】【解析】因为1，焦点在x轴上，则a2，由椭圆定义：|PF1|PF2|4，|F1F2|2，又|PF1|PF2|2，可得|PF1|3，|PF2|1，由12(2)29，所以PF1F2是直角三角形，SPF1F2|PF2|F1F2|.【答案】构建体系 当 堂 达 标固 双 基1设P是椭圆1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1PF2_. 【导学号：95902079】【解析】由标准方程得a225，2a10，由椭圆定义知PF1PF22a10.【答案】102已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 _.【解析】c1，a2，b2a2c23.椭圆的方程为1.【答案】13如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_. 【导学号：95902080】【解析】由于椭圆焦点在x轴上，即a3或6a3或6a0，n0，mn)，则椭圆方程为x21.7
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