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第7讲抛物线板块一知识梳理自主学习必备知识考点1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线其数学表达式：|MF|d(其中d为点M到准线的距离)考点2抛物线的标准方程与几何性质 必会结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切()(3)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(5)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()答案(1)(2)(3)(4)(5)22018江西八校联考已知抛物线yax2(a0)的焦点到准线的距离为2，则a()A4 B2 C. D.答案C解析化为标准方程x2y，据题意22，a.3课本改编设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6 C8 D12答案B解析抛物线准线方程x2，点P到准线的距离为6，P到焦点的距离也为6，选B.4课本改编已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x答案D解析由已知知双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x.故选D.5已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是()A2 B. C. D.答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p4，又p1，x1x23，点C的横坐标是.故选C.62018唐山模拟若抛物线x2ay过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为_答案解析由题意可知，点A在抛物线x2ay上，所以1a，解得a4，得x24y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA11.板块二典例探究考向突破考向抛物线的方程及几何性质 例1(1)2016全国卷设F为抛物线C：y24x 的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B1 C. D2答案D解析易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PFx轴，可得xP1，代入抛物线方程，得yP2(2舍去)，把P(1,2)代入曲线y(k0)，得k2.(2)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx2Cx1 Dx2答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y，与抛物线方程联立得消去y整理得：x23px0，可得x1x23p.根据中点坐标公式，有3，p2，因此抛物线的准线方程为x1.(2)过抛物线C：y24x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|_.答案解析设A(xA，yA)，B(xB，yB)，y24x，抛物线的准线为x1，F(1,0)，又A到抛物线准线的距离为4，xA14，xA3，xAxB1，xB，|AB|xAxBp32.考向抛物线定义及应用命题角度1到焦点与到定点距离之和最小问题 例22018赣州模拟若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为()A(0,0) B.C(1，) D(2,2)答案D解析过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M(2,2)命题角度2到点与准线的距离之和最小问题 例32018邢台模拟已知M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)2(y5)21上，则|MA|MF|的最小值是_答案5解析依题意，由点M向抛物线x24y的准线l：y1引垂线，垂足为M1，则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心C(1,5)到y1的距离再减去圆C的半径，即等于615，因此|MA|MF|的最小值是5.命题角度3到定直线的距离最小问题例4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A. B2 C. D3答案B解析由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2.命题角度4焦点弦中距离之和最小问题例5已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1 C. D.答案C解析如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1l于A1，BB1l于B1，MM1l于M1，由抛物线的定义知p，|AA1|BB1|AF|BF|3，则点M到y轴的距离为|MM1|(|AA1|BB1|).触类旁通与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决考向抛物线在实际生活中的应用例6一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图所示，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由解建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(3，3)，B(3，3)设抛物线方程为x22py(p0)，将B点坐标代入得92p(3)，所以p.所以抛物线方程为x23y(3y0)因为车与箱共高4.5 m，所以集装箱上表面距抛物线隧道拱顶0.5 m.设抛物线上点D的坐标为(x0，0.5)，则x，所以|x0|，所以2|x0|0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.触类旁通求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式【变式训练2】2016江苏高考如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围解(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4，所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.证明：由消去x，得y22py2pb0.因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程y22py2pb0的两根为y1,2p，从而y0p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)满分策略1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题，要多从抛物线的定义入手，这样可以简化问题3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.板块三启智培优破译高考数学思想系列 9化归转化法解决抛物中的比值问题 (1)2018温州十校联考已知点A(0,2)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则p的值等于()A. B. C2 D4解题视点由四点共线得出斜率相等，进而得出M点的坐标解析设M(xM，yM)，N，由，知，所以yN(1)yM；由kFAkFN知，所以yN4，所以yM；又，所以xM，所以xM，将(xM，yM)代入y22px，得22p，解得p2.故选C.答案C(2)过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B，若SOAF4SOBF，则直线AB的斜率为()A B C D解题视点将已知中的比值转化为相关点的坐标比值解析根据题意设点A(x1，y1)，B(x2，y2)由SOAF4SOBF，得|AF|4|BF|，4，得4，故y14y2，即4.设直线AB的方程为yk，联立消元得ky22pykp20，故y1y2，y1y2p2，则2，解得k，即直线AB的斜率为.故选D.答案D答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法进而转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解.跟踪训练过抛物线y24x的焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点(xAxB)，则()A. B. C3 D2答案D解析设直线方程为y2(x1)与y24x联立得：2x25x20，(2x1)(x2)0，x1，x22xAxB，xA2，xB.2.故选D.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标1若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()Ay24x By26xCy28x Dy210x答案C解析抛物线y22px，准线为x.点P(2，y0)到其准线的距离为4.4.p4，抛物线的标准方程为y28x.2已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2 C4 D8答案A解析由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01.故选A.32016全国卷以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4.故选B.42018运城模拟已知抛物线x2ay与直线y2x2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()Ax2y Bx26yCx23y Dx23y答案D解析设点M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x22ax2a0，所以3，即a3，因此所求的抛物线方程是x23y.5已知直线axy10经过抛物线y24x的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为()A6 B7 C8 D9答案C解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，点F在直线axy10上，a10，即a1，直线方程为xy10.联立得x26x10.设直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，|AB|x1x2p628.62018郑州模拟已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|BF|5，则线段AB的中点到y轴的距离为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|BF|5，即x1x25，解得x1x2，所以线段AB的中点到y轴的距离.72017河北六校模拟抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则抛物线的方程为_答案y216x解析设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上又圆的面积为36，圆的半径为6，则|MF|xM6，即xM6.又由题意可知xM，6，解得p8.抛物线方程为y216x.82017天津高考设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_答案(x1)2(y)21解析由y24x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为1，圆的半径为1，CAO90.又因为FAC120，所以OAF30，所以|OA|，所以点C的纵坐标为.所以圆的方程为(x1)2(y)21.9.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y24x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B，与抛物线C在第四象限的交点为点D.(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明解(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x1，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，即kxyk0.所以，解得k.即直线l的方程为y(x1)(2)直线AB与抛物线C相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y4x0.因为|BF|AF|x01，所以B(x0,0)所以直线AB的方程为：y(xx0)，整理得，xx0，把上式代入y24x得y0y28x0y4x0y00，64x16x0y64x64x0，所以直线AB与抛物线C相切102018湖南模拟已知过A(0,2)的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径(1)求C点轨迹E的方程；(2)当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点求证：PQC恒为直角三角形解(1)设C(x，y)，A(0,2)，则圆心坐标为，又因为圆与x轴切于B点，所以B点坐标为，圆的半径为.根据AC是圆的直径得，|AC|y2|，即|y2|，两边平方整理得x28y，所以C点的轨迹E的方程为x28y.(2)证明：设AC所在直线的方程为ykx2，与曲线E联立得x28kx160，设C(x1，y1)，P(x2，y2)，则x1x216.曲线E：x28y在点P(x2，y2)处切线的斜率为k1xx2，且B，直线BC的斜率为k2，所以k1k2 1，所以PQBC，即PQC为直角三角形B级知能提升1已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()A. B. C3 D2答案C解析过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|3.22018安徽模拟过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A. B. C. D2答案C解析焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立可得2x25x20，所以B的横坐标为，纵坐标为，SAOB1(2).32017山东高考在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_答案yx解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24，即y1y2p，p，即，双曲线的渐近线方程为yx.4设A，B为抛物线y2x上相异两点，其纵坐标分别为1，2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.(1)求点P的坐标；(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设，试判断是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由解(1)知A(1,1)，B(4，2)，设点P坐标为(xp，yp)，切线l1：y1k(x1)，联立由抛物线与直线l1相切，解得k，即l1：yx，同理l2：yx1，联立l1，l2的方程，可解得即点P的坐标为.(2)设M(y，y0)，且2y01，由得，即解得则1，即为定值1.52018合肥模拟已知抛物线C1：y24x和C2：x22py(p0)的焦点分别为F1，F2，点P(1，1)，且F1F2OP(O为坐标原点)(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求PMN面积的最小值解(1)F1(1,0)，F2，.(1，1)10，p2，C2的方程为x24y.(2)设过点O的直线为ykx，联立得M，联立得N(4k,4k2)(k0)，从而|MN|，点P到直线MN的距离d，进而SPMN2.令tk(t2)，有SPMN2(t2)(t1)，当t2时，SPMN有最小值8，此时k1.即当过原点的直线为yx时，PMN的面积取得最小值8.18
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