（江苏专版）2019版高考数学大一轮复习 第六章 数列 第34讲 等比数列学案 理

第34讲等比数列考试要求1.等比数列的概念(B级要求)；2.等比数列的通项公式及前n项和公式(C级要求)；3.根据具体的问题情境中的等比关系解决相应的问题(B级要求)；4.等比数列与指数函数的关系(A级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列.()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.()解析(1)若an0则不成立.(2)若G，a，b都为0，则G不为a，b的等比中项.(3)若数列an为1，1，1，1，时，bn不为等比数列.(4)若an2n，则ln an无意义.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修5P49习题1改编)已知数列an为正项等比数列，a29，a44，则数列an的通项公式an_.解析设等比数列an的公比为q，则q2.又因为q0，所以q，所以an9.答案93.(2018苏北四市模拟) 已知等比数列an的前n项和为Sn，若S22a23，S32a33，则公比q的值为_.解析S22a23，S32a33，a1a1q3，a1(1q)a1q23，q22q0，q0.则公比q2.答案24.(必修5P61习题3改编)若等比数列的通项公式为an431n，则数列an是_数列(填“递增”或“递减”).答案递减5.(必修5P67习题3改编)设an是等比数列，给出下列四个命题：a是等比数列；anan1是等比数列；是等比数列；lg|an|是等比数列.其中正确的命题是_(填序号).解析是等差数列.答案知 识 梳 理1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0).2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列.(2)满足或时，an是递减数列.(3)时，an为常数列.(4)当q0)，由正项等比数列an满足a2 0152a2 013a2 014，可得a2 013q22a2 013a2 013q，q2q20，q0，q2.4a1，qmn216，mn6.(mn)，当且仅当，即m2，n4时取等号.故的最小值为.答案9.(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式.解(1)由题意得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1).因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.10.已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式.(1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列.又a1a11，a1，又cnan1，首项c1a11，c1，公比q.cn是以为首项，以为公比的等比数列.(2)解由(1)可知cn，ancn11.当n2时，bnanan11.又b1a1代入上式也符合，bn.二、选做题11.(2018苏北四市期末)已知各项均为正数的数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项和，且满足anSn1an1Snanan1anan1(0，nN*).(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数的值；(2)若，求Sn.解(1) 令n1，得a2.令n2，得a2S3a3S2a2a3a2a3，所以a3.由aa1a3，得，因为0，所以1. (2)当时，anSn1an1Snanan1anan1，所以，即，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以2(n1)，即Sn1an，当n2时，Sn11an1，得，ananan1，即(n1)an(n2)an1，所以(n2)，所以是常数列，且为，所以an(n2).代入得Snan1.12.(2017南通二模)设数列的前n项和为Sn，且满足：；rSn1ana1，其中r，pR，且r0. (1)求p的值；(2)数列能否是等比数列？请说明理由；(3)(选做)求证：当r 2时，数列是等差数列.(1)解n1时，r(1p)S22a12a10，所以S20，又r0，所以p1.(2)解不是等比数列.理由如下：假设是等比数列，公比为q，当n2时，rS36a2，即ra1(1qq2)6a1q，所以r(1qq2)6q，()当n3时，2rS412a34a1，即2ra1(1qq2q3)12a1q24a1，所以r(1qq2q3)6q22，()由()()得q1，与矛盾，所以假设不成立. 故an不是等比数列.(3)证明当r 2时，易知a3a12a2.由2(n1)Sn1(n2n)an(n2n2)a1，得n2时，2Sn1， 2Sn2，得，2an2，即2(an2a1)，即0， 所以， 令a2a1d，则d(n2).所以ana1(n1)d(n2). 又n1时，也适合上式，所以ana1(n1)d(nN*).所以an1and(nN*).所以当r 2时，数列an是等差数列.14