（全国版）2019版高考数学一轮复习 第4章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及其线性运算学案

第1讲平面向量的概念及其线性运算板块一知识梳理自主学习必备知识考点1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量考点2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)续表向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab考点3共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.必会结论1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即An1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(3).()(4)向量ab与ba是相反向量()(5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2课本改编如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A. B.C. D.0答案C解析由，故C错误3课本改编设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0答案B解析2，P为AC的中点，0.选B.42018温州模拟已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.答案解析设abk(b3a)3kakb，13k，且k，.52015北京高考在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.答案解析由题中条件得()xy，所以x，y.板块二典例探究考向突破考向平面向量的概念例1给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；若A，B，C，D是不共线的四点，则，则ABCD为平行四边形；ab的充要条件是|a|b|且ab；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中真命题的序号是_答案解析错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点错误，若b0，则a与c不一定共线正确，因为，所以|且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线故填.触类旁通对于向量的概念应注意的问题(1)向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，字母表示，也可以用坐标表示(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的【变式训练1】设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.考向平面向量的线性运算命题角度1向量加减法的几何意义例22017全国卷设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()Aab B|a|b|Cab D|a|b|答案A解析解法一：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.命题角度2向量的线性运算例32015全国卷设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.答案A解析( ).故选A.命题角度3利用向量的线性运算求参数例42018唐山模拟在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_答案0解析由题意可求得AD1，CD，所以2.点E在线段CD上，(01)，又2，1，即.01，0.触类旁通平面向量线性运算的一般规律(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解考向共线向量定理的应用例5设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值解(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又与有公共点B，A，B，D三点共线(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F三点共线，(R)，即3e1ke2e14e2，得解得k12.触类旁通怎样用向量证明三点共线问题两向量共线且有公共点(起点相同或终点相同，或一个向量的起点是另一个向量的终点)，则可以得到三点共线；反之由三点共线也可得到向量共线【变式训练2】已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点B，A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，存在实数，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.核心规律1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论2.对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合3.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置满分策略1.两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点2.零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模确定，但方向不确定3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系向量与是共线向量，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上4.向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个.板块三启智培优破译高考易错警示系列6向量线性运算中的易错点2018铁岭模拟已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m()A2 B3 C4 D5错因分析本题主要考查向量的有关运算以及向量运算的几何意义求解该题时容易出现两个问题：一是不能根据0分析出点M与ABC之间的关系；二是不能灵活利用三角形的性质和向量运算的几何意义找出，与之间的关系解析解法一：由0，知点M为ABC的重心，设点D为边BC的中点，则由向量加法，可知2.由重心的性质，可知|，而且与同向，故，所以()()，所以3，m3.故选B.解法二：由已知得m，又，3m，m3.故选B.答案B答题启示进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基底或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.跟踪训练在ABC中，点D在边CB的延长线上，且4rs，则sr等于()A0 B. C. D3答案C解析因为4，所以.又因为，所以()，所以rs，sr.板块四模拟演练提能增分A级基础达标12018南京模拟对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若ab0，则ab，所以ab；若ab，则ab，ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件故选A.2已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若20，则向量等于()A. BC2 D2答案C解析因为，所以22()()20，所以2.故选C.32018嘉兴模拟已知向量a与b不共线，且ab，ab，则点A，B，C三点共线应满足 ()A2 B1 C1 D1答案D解析若A，B，C三点共线，则k，即abk(ab)，所以abkakb，所以k,1k，故1.故选D.4设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.答案A解析()()().故选A.5在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对答案C解析由已知得，a2b4ab5a3b8a2b2(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形故选C.6.2018北京海淀期末如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则的值为()A. BC1 D1答案A解析因为E为DC的中点，所以，即，所以，1，所以.故选A.72018绵阳模拟在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则()A. B.C. D.答案B解析因为2，所以2.又M是BC的中点，所以()().故选B.8若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_答案直角三角形解析因为2，所以|，即0，故，ABC为直角三角形92018江苏模拟设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_答案解析()，12，1，2，故12.10ABC所在的平面内有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是_答案解析因为，所以，所以22，即P是AC边的一个三等分点，且PCAC，由三角形的面积公式可知，.B级知能提升12018福建模拟设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B2 C3 D4答案D解析()()224.故选D.2在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若mn(m，nR)，则的值为()A2 B C2 D.答案A解析设a，b，则manb，ba，由向量与共线可知存在实数，使得，即manbba，又a与b不共线，则所以2.故选A.32018泉州四校联考设e1，e2是不共线的向量，若e1e2，2e1e2，3e1e2，且A，B，D三点共线，则的值为_答案2解析2e1e2，3e1e2，(3e1e2)(2e1e2)e12e2，若A，B，D三点共线，则与共线，存在R使得，即e1e2(e12e2)，由e1，e2是不共线的向量，得解得2.4已知|1，|，AOB90，点C在AOB内，且AOC30.设mn(m，nR)，求的值解如图所示，因为OBOA，设|2，过点C作CDOA于点D，CEOB于点E，所以四边形ODCE是矩形，.因为|2，COD30，所以|1，|.又因为|，|1，所以，此时m，n，所以3.52018大同模拟若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，求ABM与ABC的面积之比解设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由53，得523，即，即1，故C，M，D三点共线，又，联立，得53，即在ABM与ABC中，边AB上的高的比值为，所以ABM与ABC的面积的比值为.13