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73球的表面积和体积学习目标1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积知识点一球的截面思考什么叫作球的大圆与小圆？答案平面过球心与球面形成的截线是大圆平面不过球心与球面形成的截线是小圆梳理用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是圆，有以下性质：(1)若平面过球心O，则截线是以O为圆心的球的大圆(2)若平面不过球心O，如图，设OO，垂足为O，记OOd，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OOOP，则有OP，即此时截线是以O为圆心，以r为半径的球的小圆知识点二球的切线(1)定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线如图，l为球O的切线，M为切点(2)性质：球的切线垂直于过切点的半径；过球外一点的所有切线的长度都相等知识点三球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R表面积公式S4R2体积公式VR31球的表面积等于它的大圆面积的2倍()2两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.()3球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面()类型一球的表面积与体积例1已知球的表面积为64，求它的体积考点题点解设球的半径为R，则4R264，解得R4，所以球的体积VR343.反思与感悟(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了跟踪训练1已知球的体积为，求它的表面积解设球的的半径为R，则R3，解得R5，所以球的表面积S4R2452100.类型二球的截面例2在半径为R的球面上有A，B，C三点，且ABBCCA3，球心到ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积考点题点解依题意知，ABC是正三角形，ABC的外接圆半径r3.由R22()2，得R2.所以球的表面积S4R216.反思与感悟(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.跟踪训练2如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3考点题点答案A解析利用球的截面性质结合直角三角形求解如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm)设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3)类型三与球有关的组合体命题角度1球的内接或外切柱体问题例3(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_考点球的体积题点与外接、内切有关球的体积计算问题答案14解析长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R，所以球的表面积S4R214.(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为_考点球的体积题点与外接、内切有关球的体积计算问题答案解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是12.反思与感悟(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1.(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2.跟踪训练3表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为()A. B. C D.考点球的体积题点与外接、内切有关球的体积计算问题答案A解析如图所示，将正四面体补形成一个正方体设正四面体的棱长为a.正四面体的表面积为，4a2，解得a，正方体的棱长是，又球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，2R，R，球的体积为3，故选A.命题角度2球的内接锥体问题例4若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积考点球的体积题点与外接、内切有关球的体积计算问题解把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则ax，由题意2Rxa，S球4R2a2.反思与感悟将正四面体补成正方体由此可得正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2Ra.跟踪训练4球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_考点球的体积题点与外接、内切有关球的体积计算问题答案或解析设球的半径为R，则球心到圆锥底面的距离为R.当圆锥顶点与底面在球心两侧时，过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图，此时圆锥底面圆的半径为R，高为R，故圆锥的体积与球的体积之比为.当圆锥顶点与底面在球心同侧时，同理求得二者体积比为.1把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()AR B2R C3R D4R考点球的体积题点与截面有关的球的体积计算问题答案D解析设圆柱的高为h，则R2h3R3，得h4R.2平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B4 C4 D6考点球的体积题点与截面有关的球的体积计算问题答案B解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则OO，OM1.OM.即球的半径为.V()34.3若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A4(rR)2 B4r2R2C4Rr D(Rr)2答案C解析方法一如图，设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1.故球的表面积为S球4r4Rr.方法二如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在RtAOB中，OF是斜边AB上的高由相似三角形的性质得OF2BFAFRr，即rRr，故r1，故球的表面积为S球4Rr.4两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，则这两个球的半径之差为()A1 B2 C3 D4考点题点答案B解析设两球半径分别为R1，R2，且R1R2，则4(RR)48，2(R1R2)12，所以R1R22.5若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的_倍，表面积变为原来的_倍考点题点答案84解析球的半径为R时，球的体积为V1R3，表面积为S14R2，半径增加为2R后，球的体积为V2(2R)3R3，表面积为S24(2R)216R2.所以8，4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍1利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算2解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.一、选择题1三个球的半径之比为123，那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的()A1倍 B2倍C3倍 D4倍考点题点答案C解析设三个球的半径由小到大依次为r1，r2，r3，则r1r2r3123，V3r27r36r，V1V2rr9r12r，V33(V1V2)2设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3考点球的体积题点与外接、内切有关的球的体积计算问题答案D解析由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为 cm3.3.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示则球的半径是()A1 cm B2 cmC3 cm D4 cm考点球的体积题点与外接、内切有关的球的体积计算问题答案C解析设球半径为r，则由3V球V水V柱，可得3r3r26r26r，解得r3.4直径为6的球的表面积和体积分别是()A36，144 B36，36C144，36 D144，144考点题点答案B解析球的半径为3，表面积S43236，体积V3336.5一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3考点球的体积题点与截面有关的球的体积计算问题答案C解析如图，根据题意，|OO1|4 cm，|O1A|3 cm，|OA|R5(cm)，故球的体积VR3(cm3)故选C.6一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为()A(24) cm2 B(816) cm2C(48) cm2 D(1632) cm2考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题答案B解析一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，正四棱柱的体对角线为4 cm，正四棱柱的底面对角线长为2 cm，正四棱柱的高为2 (cm)，该棱柱的表面积为222422816 (cm2)，故选B.7若长方体的长、宽、高分别为5,4,3，则它的外接球的表面积为()A. B50C. D.考点题点答案B解析因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以外接球的半径r，所以它的外接球的表面积S4r250.二、填空题8两个球的半径相差1，表面积之差为28，则它们的体积和为_考点题点答案解析设大，小两球半径分别为R，r，则所以所以体积和为R3r3.9已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为_考点题点答案解析设球的半径为R，正方体棱长为a，则V球R3，得到R，正方体体对角线的长为a2R，则a，所以正方体的棱长为.10已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_考点题点答案24解析V四棱锥O-ABCDh，得h，OA2h226.S球4OA224.11已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_考点题点答案解析如图所示，CD是截面圆的直径2，即CD2，设球O的半径为R，AHHB12，AH2RR，OHRRR，由OD2OH2HD2，得R2R21，R2，S球4R2.三、解答题12某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积解该组合体的表面积S4r22rl41221310.该组合体的体积Vr3r2l13123.13有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V2hh3，由VV，得hr.即容器中水的深度为r.四、探究与拓展14已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球表面积为_考点题点答案9解析如图，是过长方体的一条体对角线AC1的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已知，得解得所以球的半径RAB，所以S球4R29.15有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个项点，求这三个球的表面积之比考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题解设正方体棱长为a，三个球的半径依次为R1，R2，R3，则有2R1a，R1，a2R2，R2a，a2R3，R3a，所以R1R2R31.所以S1S2S3RRR123.即这三个球的表面积之比为123. 16
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