资源描述
第一章 导数及其应用章末复习学习目标1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4.了解定积分的概念及其简单的应用1导数的概念(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 ，称为函数yf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，表示为f(x0)，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函数的导数公式(1)c0.(2)(x)x1.(3)(ax)axln a(a0)(4)(ex)ex.(5)(logax)(a0，且a1)(6)(ln x).(7)(sin x)cos x.(8)(cos x)sin x.3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)4复合函数的求导法则(1)复合函数记法：yf(g(x)(2)中间变量代换：yf(u)，ug(x)(3)逐层求导法则：yxyuux.5函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当x0，当xa时，f(x)0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)a时，f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(3)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值6微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)7定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0.()类型一导数几何意义的应用例1设函数f(x)x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行(1)求a的值；(2)求f(x)在x3处的切线方程考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1，f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型跟踪训练1直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3)，则b .考点求曲线在某点处的切线方程题点曲线的切线方程的应用答案15解析由题意知f(2)3，则a3.f(x)x33x1，f(x)3x23，f(2)32239k，又点(2,3)在直线y9xb上，b39215.类型二函数的单调性、极值、最值问题例2设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.反思与感悟本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力跟踪训练2已知函数f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解(1)f(x)的定义域是(0，)，f(x)1ln x，令f(x)0，解得x，令f(x)0，解得0x，故f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)minfln.(2)f(x)xln x，当x1时，f(x)ax1恒成立，等价于xln xax1(x1)恒成立，等价于aln x(x1)恒成立，令g(x)ln x，则ag(x)min(x1)恒成立；g(x)，当x1时，g(x)0，g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)1，a1，即实数a的取值范围为(，1(3)若关于x的方程f(x)b恰有两个不相等的实数根，即yb和yf(x)在(0，)上有两个不同的交点，由(1)知当0x时，f(x)0，f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minfln；故当b0时，满足yb和yf(x)在(0，)上有两个不同的交点，即若关于x的方程f(x)b恰有两个不相等的实数根，则b0时，x4或x0，当F(x)0时，0x时，y0，即单调递增区间为，故选D.4体积为16的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求面积的最值问题答案2解析设圆柱底面半径为r，母线长为l.16r2l，即l.则S表面积2r22rl2r22r2r2，由S4r0，得r2.当r2时，圆柱的表面积最小5已知函数f(x)过点(1，e)(1)求yf(x)的单调区间；(2)当x0时，求的最小值；(3)试判断方程f(x)mx0(mR且m为常数)的根的个数考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解(1)由函数f(x)过点(1，e)，得e1be，即b0，f(x)(x0)，f(x)，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得0x1或x0，g(x)，令g(x)0，解得x2或x0(舍去)，当x(0,2)时，g(x)0，g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，的最小值为g(2).(3)方程f(x)mx0(mR且m为常数)等价于mg(x)，g(x)，易知当x0.结合(2)可得函数g(x)在区间(0,2)上单调递减，在(，0)，(2，)上单调递增原问题转化为ym与yg(x)的交点个数，其图象如图，当m0时，方程f(x)mx0(mR且m为常数)的根的个数为0；当0m时，方程f(x)mx0(mR且m为常数)的根的个数为3.1利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题4不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.一、选择题1已知函数f(x)sin x，且 2，则a的值为()A2 B2C2 D2考点导数的概念题点导数的概念的简单应用答案A解析 2，f(1)2，f(x)sin x，f(x)acos x，acos 2，a2，故选A.2设曲线yf(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线()A垂直于x轴B垂直于y轴C既不垂直于x轴也不垂直于y轴D方向不能确定考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案B解析曲线yf(x)在某点处的导数值为0，切线的斜率为0，故选B.3若函数f(x)的导数是f(x)x(ax1)(a0)，则函数f(x)的单调递减区间是()A. B.，C. D(，0，考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案C解析f(x)x(ax1)(a0)，令f(x)0，即x(ax1)0，解得0x，故选C.4由曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面区域的面积为()A B2C D2考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案D解析如图所示，两个阴影部分面积相等，所以两个阴影面积之和等于0x阴影部分面积的2倍，故选D.5.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案D解析由函数的图象可知，f(2)0，f(2)0，并且当x0，当2x1，f(x)0，函数f(x)有极大值f(2)又当1x2时，f(x)2时，f(x)0，故函数f(x)有极小值f(2)，故选D.6已知aln x对任意x恒成立，则a的最大值为()A0 B1C2 D3考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案A解析令f(x)ln x，f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)f(1)0，则a0，即a的最大值为0.7若函数f(x)x3x22bx在区间3,5上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极大值为()A.b2b3 B.bC2b D0考点函数在某点处取得极值的条件题点含参数求极值问题答案C解析f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)，函数f(x)在区间3,5上不是单调函数，3b0，得xb，由f(x)0，得2xb，故f(x)在(，2)上单调递增，在(2，b)上单调递减，在(b，)上单调递增，函数f(x)的极大值为f(2)2b.二、填空题8在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标答案(2,15)解析y3x210，令y2，解得x2.又点P在第二象限内，x2，此时y15，点P的坐标为(2,15)9已知曲线y与直线xa，y0所围成的封闭区域的面积为a3，则a .考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点已知曲线所围成图形的面积求参数答案解析由题意得a3dx，即，解得a.10已知定义在区间(，0)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递减区间是 考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案解析f(x)xcos x，当x时，f(x)0)在1，)上的最大值为，则实数a的值为 考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案1解析f(x)，令f(x)0，得x，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0，f(x)单调递增若1，即a1，则当x1，)时，f(x)maxf()，解得1，不合题意，1，且当x1，)时，f(x)maxf(1)，解得a1，满足1.三、解答题12求抛物线yx24x3与其在点(0，3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积考点求函数在某点处的切线方程题点曲线的切线方程的应用解如图，y2x4，y|x04，y|x32.在点(0，3)处的切线方程是y4x3，在点(3,0)处的切线方程是y2(x3)联立方程组即得交点坐标为.所以由它们围成的图形面积为S.13已知函数f(x)ln x.(1)若f(x)在定义域内单调递增，求实数k的值；(2)若f(x)的极小值大于0，求实数k的取值范围考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数解(1)依题意可知f(x)(xk)(ln x1)，令f(x)0，可得x1k，x2.若x1x2，则在x1，x2之间存在一个区间，使得f(x)0，不满足题意因此x1x2，即k.(2)当k0，则f(x)在上小于0，在上大于0，若k0，则f(x)在上小于0，在上大于0，因此x是极小值点，f0，解得k，k时，f(x)在上小于0，在(k，)上大于0，因此xk是极小值点，f(k)(12ln k)0，解得k，ka0，a0，1恒成立，等价于f(b)b0)恒成立，得m，所以实数m的取值范围是.15已知函数f(x)ln xa(x1)，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x1时，f(x)恒成立，求实数a的取值范围考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)，若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，若a0，则由f(x)0，得x，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)f(x)，令g(x)xln xa(x21)，x1，g(x)ln x12ax，令F(x)g(x)ln x12ax，F(x)，若a0，F(x)0，g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)12a0，g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，从而f(x)0，不符合题意若0a0，g(x)在上单调递增，从而g(x)g(1)12a0，g(x)在上单调递增，g(x)g(1)0，从而f(x)0，不符合题意若a，F(x)0在1，)上恒成立，g(x)在1，)上单调递减，g(x)g(1)12a0，从而g(x)在1，)上单调递减，g(x)g(1)0，f(x)0，综上所述，实数a的取值范围是.19
展开阅读全文