（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题七 选考部分 第1讲 坐标系与参数方程学案 理 新人教A版

第1讲坐标系与参数方程做真题1(2019高考全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1，0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解：(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知：若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或.2(2019高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解：(1)因为11，且x21，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.明考情1坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用极坐标方程及其应用典型例题 (2019高考全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程【解】(1)因为M(0，0)在C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(，)为l上除P的任意一点连接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方，将极坐标方程构造成含有cos ，sin ，2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程巧借两角和差公式，转化sin()或cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程将直角坐标方程中的x换成cos ，将y换成sin ，即可得到其极坐标方程(2)求解与极坐标有关问题的主要方法直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标 对点训练1(2019合肥模拟)在直角坐标系xOy中，直线l1：x0，圆C：(x1)2(y1)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为(R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求OAB的面积解：(1)因为xcos ，ysin ，所以直线l1的极坐标方程式为cos 0，即(R)，圆C的极坐标方程为22cos 2(1)sin 320.(2)设A(，1)、B(，2)，将代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得11.将代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得21.故OAB的面积为(1)2sin1.2(2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1，0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与 C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.参数方程及其应用典型例题 (2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率【解】(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.(1)有关参数方程问题的2个关键点参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义(2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t0.|PM|t0|.|AB|t2t1|.|PA|PB|t1t2|. 对点训练1已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于A，B两点(1)求|AB|的值；(2)若F为曲线C的左焦点，求的值解：(1)由(为参数)，消去参数得1.由消去参数t得y2x4.将y2x4代入x24y216中，得17x264x1760.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以|AB|x1x2|，所以|AB|的值为.(2)由(1)得，F(2，0)，则(x12，y1)(x22，y2)(x12)(x22)(2x14)(2x24)x1x22(x1x2)124x1x22(x1x2)125x1x26(x1x2)60566044，所以的值为44.极坐标方程与参数方程的综合应用典型例题 (2019福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2，点P的极坐标为(，)(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标；(2)(一题多解)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.【解】(1)由2得22sin22，将2x2y2，ysin 代入并整理得，曲线C的直角坐标方程为y21.设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为(，)，所以xcos cos 1，ysin sin1.所以点P的直角坐标为(1，1)(2)法一：将代入y21，并整理得41t2110t250，1102441258 0000，故可设方程的两根分别为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1t2.依题意，点M对应的参数为，所以|PM|.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0，y0.由，消去t，得yx.将yx代入y21，并整理得41x216x160，因为(16)2441(16)2 8800，所以x1x2，x1x2.所以x0，y0x0，即M(，)所以|PM|.解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件 对点训练1(2019石家庄市模拟(一)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)当0r0，结合0r2，得3r20，所以.因为3r24，所以04r20，结合0r2，得3r20，t20，所以.因为3r24，所以04r20)都在曲线M上(1)求证：123；(2)若过B，C两点的直线的参数方程为(t为参数)，求四边形OBAC的面积解：(1)证明：由题意得12cos ，22cos()，32cos()，则232cos()2cos()2cos 1.(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2y22x0，将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2t0，解得t10，t2，所以在平面直角坐标中，B(，)，C(2，0)，则21，32，所以1.所以四边形OBAC的面积SSAOBSAOC12sin13sin.1(2019东北四市联合体模拟(一)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30，且经过点A(2，1)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：cos 3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|ON|12，记点N的轨迹为曲线C.(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|AQ|的值解：(1)直线l1的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)设N(，)，M(1，1)(0，10)，则，又1cos 13，所以12，即4cos ，所以曲线C的直角坐标方程为x24xy20(x0)(2)设P，Q对应的参数分别为t1，t2，将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得(2t)24(2t)(1t)20，即t2t30，130，t1，t2为方程的两个根，所以t1t23，所以|AP|AQ|t1t2|3|3.2(2019四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为cos()1.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)过P(0，1)的直线l交曲线C1于A，B两点，当|PA|PB|8时，求直线l的倾斜角解：(1)消去参数t得曲线C1的普通方程为x24y，曲线C2的极坐标方程可化为cos sin 2，化为直角坐标方程为xy20.(2)设直线l的参数方程为(m为参数，为直线l的倾斜角且90)，代入曲线C1的普通方程中得m2cos24msin 40，所以m1m2，所以|PA|PB|m1m2|8，得45或135，即直线l的倾斜角为45或135.3(2019广州市综合检测(一)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为(sin acos )(aR)(1)写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；(一题多解)(2)若直线C2与曲线C1有两个不同的交点，求a的取值范围解：(1)曲线C1的普通方程为y1x2(1x1)，把xcos ，ysin 代入(sin acos )，得直线C2的直角坐标方程为yax，即axy0.(2)法一：由直线C2axy0，知直线C2恒过点M(0，)由y1x2(1x1)，知当y0时，x1，则直线MP的斜率为k1，直线MQ的斜率为k2.因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2ak1，即a.所以a的取值范围为，法二：联立，消去y得x2ax0，依题意，得x2ax0在1，1上有两个不相等的实根设f(x)x2ax，则解得a.所以a的取值范围为，4(2019湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4sin()(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l的交点为A，B，Q是曲线C上的动点，求ABQ面积的最大值解：(1)由消去t得xy50，所以直线l的普通方程为xy50.由4sin()4sin 4cos ，得24sin 4cos ，化为直角坐标方程为x2y24x4y，所以曲线C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)由(1)知，曲线C是以(2，2)为圆心，2为半径的圆，直线l过点P(3，2)，可知点P在圆内将直线l的参数方程化为，代入圆的直角坐标方程，得t29t330.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t29，t1t233，所以|AB|t2t1|.又圆心(2，2)到直线l的距离d，所以ABQ面积的最大值为(2).5(2019济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2sin ，直线l的参数方程为(t为参数，其中a0)，直线l与曲线C相交于M，N两点(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若点P(0，a)满足4，求a的值解：(1)曲线C的极坐标方程可化为2cos2sin ，由，得曲线C的直角坐标方程为yx2.(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入yx2，得t2a0，3a0.设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2，所以4，化简得64a212a10，解得a或a(舍去)，所以a.6(2019广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数，实数a0)，曲线C2：(为参数，实数b0)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：(0，0)与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点，当0时，|OA|1；当时，|OB|2.(1)求a，b的值；(2)求2|OA|2|OA|OB|的最大值解：(1)将C1的参数方程化为普通方程为(xa)2y2a2，其极坐标方程为12acos ，由题意可得，当0时，|OA|2a1，所以a.将C2的参数方程化为普通方程为x2(yb)2b2，其极坐标方程为22bsin ，由题意可得，当时，|OB|2b2，所以b1.(2)由(1)可得C1，C2的方程分别为1cos ，22sin ，所以2|OA|2|OA|OB|2cos22sin cos sin 2cos 21sin(2)1.因为，0，所以0，所以2，所以当2，即时，sin(2)1取得最大值，为1.7(2019合肥市第一次质量检测)已知曲线C的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)P，Q为曲线C上两点，若0，求的值解：(1)由，得曲线C的普通方程是y21，将xcos ，ysin 代入，得52sin222cos25，即2(2也可得分)(2)因为2，所以sin2，由0，得OPOQ，设点P的极坐标为(1，)，则点Q的极坐标可设为(2，)，所以.8(2019郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos232sin212，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点(1)若点P的极坐标为(2，)，求|PM|PN|的值；(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值解：(1)由2cos232sin212得x23y212，故曲线C的直角坐标方程为1，点P的直角坐标为(2，0)，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程1中，得t2t40，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则|PM|PN|t1t2|4.(2)由(1)知，曲线C的直角坐标方程为1，可设曲线C上的动点A(2cos ，2sin )，0，则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2cos 2sin )16sin()，0.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当时取得最大值- 15 -