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第4讲幂函数与二次函数板块一知识梳理自主学习 必备知识考点幂函数的图象和性质1五种幂函数图象的比较2幂函数的性质比较 必会结论1一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是2二次函数表达式的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)顶点式：ya(xh)2k(其中a0，顶点坐标为(h，k)(3)两根式：ya(xx1)(xx2)(其中a0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)()(2)二次函数yax2bxc(xR)，不可能是偶函数()(3)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(4)当.板块二典例探究考向突破考向幂函数的图象与性质例1(1)函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值是()A1 B2 C3 D1或2答案B解析f(x)(m2m1)xm是幂函数m2m11m1或m2.又x(0，)上是增函数，所以m2.(2)2016全国卷已知a2，b4，c25，则()Abac Babc Cbca Dcab答案A解析因为a24，c255，函数yx在(0，)上单调递增，所以45，即ac，又因为函数y4x在R上单调递增，所以44，即ba，所以bac.故选A.触类旁通幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域根据0,01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较【变式训练1】(1)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3 B1 C2 D1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1 或n3，经检验只有n1符合题意故选B.(2)2018昆明模拟设a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c的大小关系为()Aacb BcabCabc Dcba答案B解析由已知得a80.1，b90.1，c70.1，构造幂函数yx0.1，x(0，)，根据幂函数的单调性，知cab.考向求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解解法一：(利用一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.解法二：(利用顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.解法三：(利用两根式)由已知f(x)10两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值f(x)max8，即8.解得a4或a0(舍)所求函数的解析式为f(x)4x24x7.触类旁通确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式训练2】已知二次函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且f(0)0，f(1)1，求f(x)的解析式解解法一：(一般式)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)x22x.解法二：(两根式)对称轴方程为x1，f(2)f(0)0，f(x)0的两根分别为0,2.可设其解析式为f(x)ax(x2)又f(1)1，可得a1，f(x)x(x2)x22x.解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)，可设其解析式为f(x)a(x1)21.又由f(0)0，可得a1，f(x)(x1)21x22x.考向二次函数的图象和性质命题角度1二次函数的单调性例3已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间解(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.(2)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x4,6，且f(x)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是4,0命题角度2二次函数的最值例42016浙江高考已知函数f(x)x2bx，则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析因为f(x)x2bx2，其最小值为f.因为f(f(x)f(x)2bf(x)2.因为f(x)min，若ff(x)与f(x)的最小值相等，当且仅当f(x)时成立，解得b2，所以“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件故选A.命题角度3二次函数中恒成立问题例52018石家庄模拟设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，则实数a的取值范围为_答案解析由f(x)0，即ax22x20，x(1,4)，得a在(1,4)上恒成立令g(x)22，所以g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可触类旁通二次函数的最值及恒成立问题(1)解决二次函数最值问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成(2)解决二次函数恒成立问题有两个解题思路：一是分离参数，思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min；二是不分离参数，对参数进行分类讨论核心规律1.幂函数yx(R)的图象的特征当0时，图象过原点和点(1,1)，在第一象限图象上升；当0时，图象过点(1,1)，但不过原点，在第一象限图象下降2.在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助二次函数图象数形结合求解，一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值的符号四个方面分析3.在研究一元二次不等式的有关问题时，一般借助二次函数图象及性质求解满分策略1.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限如果幂函数与坐标轴有交点，则交点一定是原点2.对于函数yax2bxc，若它是二次函数，则必须满足a0.当题目条件中未说明a0时，就要分a0和a0两种情况讨论3.对于与二次函数有关的不等式恒成立问题或存在性问题，应注意进行等价转化.板块三启智培优破译高考数学思想系列2分类讨论破解二次函数最值问题2018广州模拟已知函数f(x)x22ax1a在0x1时有最大值2，求实数a的值解题视点函数的对称轴是xa位置不定，并且在不同位置产生的结果也不相同，所以要对对称轴的位置进行分类讨论解当对称轴xa0时，如图1所示，当x0时，y有最大值ymaxf(0)1a，所以1a2，即a1，且满足a1时，如图3所示当x1时，y有最大值ymaxf(1)2aa2.a2，且满足a1，a2.综上可知，a的值为1或2.答题启示二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：对称轴固定，区间固定；对称轴变动，区间固定；对称轴固定，区间变动.此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论.跟踪训练设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.综上可知，f(x)min板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018秦皇岛模拟若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是()A(0，) B0，)C(，) D(，0)答案D解析设yxa，则2a，a2，yx2其单调递增区间为(，0)故选D.22018武汉模拟如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么()Af(0)f(2)f(2) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)f(2)f(0)故选A.3若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是()A(，2 B2,2C(2,2 D(，2)答案C解析当a20即a2时，不等式为40，恒成立当a20时，解得2a2，所以a的取值范围是21时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图象，由图象可知0，得1m0，m10，又x时，f(x)单调递增，f(m1)f(0)0.72017浙江高考若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关答案B解析设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关故选B.由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图象左右移动，则Mm的值在变化，故与a有关故选B.8已知函数f(x)x22ax2在5,5上是单调函数，则实数a的取值范围是_答案(，55，)解析f(x)(xa)22a2，图象的对称轴为xa，由题意可知a5或a5，解得a5或a5.92018合肥模拟若函数f(x) 的定义域为R，则a的取值范围为_答案1,0解析函数f(x)的定义域为R，所以2 x22axa10对xR恒成立，即2 x22axa20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.102018南昌模拟如果函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，那么实数a_.答案1解析因为函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得因为f(0)a，f(2)43a，所以或解得a1.B级知能提升12018浙江模拟已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Daf(1)，所以f(x)先减后增，所以a0.选A.2.如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确对称轴为x1，即1,2ab0，错误结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5a0.那么f(x)的零点是_；若f(x)的值域是，则c的取值范围是_答案1和0(0,4解析当0xc时，由x0得x0.当2x0时，由x2x0，得x1，所以函数零点为1和0.当0xc时，f(x)x，所以0f(x)；当2x0时，f(x)x2x2，所以此时f(x)2.若f(x)的值域是，则有2，即0c4，即c的取值范围是(0,442018江苏模拟已知f(x)4x24ax4aa2在0,1内的最大值为5，求a的值解f(x)424a，对称轴为x，当1，即a2时，f(x)在0,1上递增，f(x)maxf(1)4a2，令4a25，得a1(舍去)当01，即0a0，则x0)，所以f(x)(3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为xa1，当a11，即a0时，g(1)12a为最小值；当1a12，即02，即a1时，g(2)24a为最小值综上可得g(x)min14
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