（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 坐标系和参数方程 第1节 坐标系学案 文 新人教A版

第1节坐标系最新考纲1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.知 识 梳 理1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)；自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画，这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标.其中称为点M的极径，称为点M的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2x2y2tan (x0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r，0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为，则直线l的极坐标方程是(R).(2)直线l过点M(a，0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为cos_a.(3)直线过M 且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为sin_b.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.()(2)若点P的直角坐标为(1，)，则点P的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线.()答案(1)(2)(3)(4)2.(选修44P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A.，0B.，0C.cos sin ，0D.cos sin ，0解析y1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)；.答案A3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐标方程为_.解析由2sin ，得22sin ，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0. 答案x2y22y04.(2017北京卷)在极坐标系中，点A在圆22cos 4sin 40上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为_.解析由22cos 4sin 40，得x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圆心坐标为C(1，2)，半径长为1.点P的坐标为(1，0)，点P在圆C外.又点A在圆C上，|AP|min|PC|1211.答案15.已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_.解析由2sin，得2，yx1.由A，得点A的直角坐标为(2，2).点A到直线l的距离d.答案考点一平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】 求双曲线C：x21经过：变换后所得曲线C的焦点坐标.解设曲线C上任意一点P(x，y)，由得代入曲线C：x21，得1，即曲线C的方程为1，因此曲线C的焦点F1(5，0)，F2(5，0).规律方法1.平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，整理得yh(x)为所求.2.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P(x，y)的坐标关系，用方程思想求解.【训练1】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：(1)求点A经过变换所得点A的坐标；(2)求直线l：y6x经过变换后所得直线l的方程.解(1)设点A(x，y)，由伸缩变换：得点A的坐标为(1，1).(2)设P(x，y)是直线l上任意一点.由伸缩变换：得代入y6x，得2y62x，即yx，yx为所求直线l的方程.考点二极坐标与直角坐标的互化【例21】 在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为：x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为：yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.【例22】 (2016北京卷改编)在极坐标系中,已知极坐标方程C1：cos -sin 10，C2：2cos .(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.解(1)由C1：cos sin 10，xy10，表示一条直线.由C2：2cos ，得22cos .x2y22x，即(x1)2y21.所以C2是圆心为(1，0)，半径r1的圆.(2)由(1)知，点(1，0)在直线xy10上，所以直线C1过圆C2的圆心.因此两交点A，B的连线段是圆C2的直径.所以两交点A，B间的距离|AB|2r2.规律方法1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意，的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧. 【训练2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为cosa，且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程.(2)把曲线C1：x2y28x10y160化为极坐标方程.解(1)点A在直线cosa上，acos，所以直线的方程可化为cos sin 2，从而直线的直角坐标方程为xy20.(2)将代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160，所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.考点三曲线极坐标方程的应用【例31】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值.解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10).由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点B的极坐标为(B，)(B0).由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.【例32】 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去t，得C1的普通方程x2(y1)2a2，曲线C1表示以点(0，1)为圆心，a为半径的圆.将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)，a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.所以a1.规律方法1.(1)例31中利用极径、极角的几何意义，表示AOB的面积，借助三角函数的性质求最值优化了解题过程.(2)例32第(1)题将曲线C1的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去，建立与直线C3：0的联系，进而求a.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【训练3】 (2018太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2：x2y22y0.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：(0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O).(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0时，求|OA|2|OB|2的取值范围.解(1)C1的普通方程为y21，C1的极坐标方程为2cos2 22sin2 20，C2的极坐标方程为2sin .(2)联立(0)与C1的极坐标方程得|OA|2，联立(0)与C2的极坐标方程得|OB|24sin2，则|OA|2|OB|24sin24(1sin2)4.令t1sin2，则|OA|2|OB|24t4，当0时，t(1，2).设f(t)4t4，易得f(t)在(1，2)上单调递增，2|OA|2|OB|25，故|OA|2|OB|2的取值范围是(2，5).基础巩固题组(建议用时：50分钟)1.(2017天津卷改编)在极坐标系中，已知直线4cos10与圆2sin ，试判定直线与圆的位置关系.解由4cos10得2cos 2sin 10，故直线的直角坐标方程为2x2y10.由2sin 得22sin ，故圆的直角坐标方程为x2y22y，则x2(y1)21.圆心为(0，1)，半径为r1.圆心到直线2x2y10的距离d1，直线与圆相交，有两个公共点.2.以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线l的极坐标方程.解(1)，sin y，化为sin 2，曲线的直角坐标方程为x24y4.(2)设直线l的极坐标方程为0(R)，根据题意3，解得0或0，直线l的极坐标方程(R)或(R).3.(2018衡水模拟)在极坐标系中，已知曲线C1：2与C2：cos交于两点A，B.(1)求两交点的极坐标；(2)求线段AB的垂直平分线l的极坐标方程.解(1)C1：2的直角坐标方程为x2y24，C2：cos的方程即cos sin 2，化为直角坐标方程得xy20.由解得或所以两交点为(0，2)，(2，0)，化为极坐标为，(2，0).(2)易知直线l经过点(0，0)及线段AB的中点(1，1)，所以其方程为yx，化为极坐标方程得(R).4.(2018西安调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，).所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.5.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为sin 1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长.解(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(，)为圆C上的一个动点，则AOD或AOD，|OA|OD|cos或|OA|OD|cos.所以圆C的极坐标方程为2cos.(2)由sin1，得(sin cos )1，直线l的直角坐标方程为xy0，又圆心C的直角坐标为满足直线l的方程，直线l过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.能力提升题组(建议用时：30分钟)6.(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积.解(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，则易得C2MN为直角三角形，所以C2MN的面积为S12.7.(2018合肥二模)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos .(1)求出圆C的直角坐标方程；(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y2x关于点M(0，m)(m0)对称的直线为l.若直线l上存在点P使得APB90，求实数m的最大值.解(1)由4cos 得24cos ，故x2y24x0，即圆C的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)l：y2x关于点M(0，m)的对称直线l的方程为y2x2m.依题设，易知AB为圆C的直径，故直线l上存在点P使得APB90的充要条件是直线l与圆C有公共点.因此2，于是，实数m的最大值为2.8.已知曲线C1：xy和C2：(为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.解(1)曲线C1化为cos sin .sin.曲线C2化为1(*)将xcos ，ysin 代入(*)式得cos2sin21，即2(cos23sin2)6.曲线C2的极坐标方程为2.(2)M(，0)，N(0，1)，P，OP的极坐标方程为，把代入sin，得11，P.把代入2，得22，Q.|PQ|21|1，即P，Q两点间的距离为1.12