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13.2函数的极值与导数(一)学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一函数的极值点和极值思考观察函数yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)梳理(1)极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，就把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，在x0的右侧函数单调递减，即f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数f(x)的极值的步骤确定函数的定义区间，求导数f(x)；求方程f(x)0的根；列表；利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值1导数为0的点一定是极值点()2函数的极大值一定大于极小值()3函数yf(x)一定有极大值和极小值()4极值点处的导数一定为0.()类型一求函数的极值点和极值例1求下列函数的极值(1)f(x)2；(2)f(x).考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题解(1)函数f(x)的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e)，没有极小值反思与感悟函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然跟踪训练1求下列函数的极值点和极值(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x)x2ex.考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题解(1)f(x)x22x3.令f(x)0，得x11，x23，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表可以看出，当x1时，函数有极大值，且极大值f(1)，当x3时，函数有极小值，且极小值f(3)6.(2)函数f(x)的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且极小值为f(0)0.当x2时，函数有极大值，且极大值为f(2)4e2.例2已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，当实数a时，求函数f(x)的单调区间与极值考点函数在某点处取得极值的条件题点含参数求极值问题解f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，由a知2aa2.分以下两种情况讨论：若a，则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数，函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数，函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.反思与感悟讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行跟踪训练2已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值考点函数在某点处取得极值的条件题点含参数求极值问题解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0，知当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值类型二利用函数的极值求参数例3(1)已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是()A(，1) B(0，)C(0,1) D(1,0)(2)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则a_，b_.考点利用导数研究函数的极值题点已知极值点求参数答案(1)D(2)29解析(1)若a1，因为f(x)a(x1)(xa)，所以f(x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，所以f(x)在xa处取得极小值，与题意不符；若1a0，则f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意不符，故选D.(2)因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(3，1)时，f(x)为减函数，当x(1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1处取得极小值，因此a2，b9.反思与感悟已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证跟踪训练3设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由考点利用导数研究函数的极值题点已知极值点求参数解(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1，f(1)f(2)0，a2b10且4b10，解得a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x，且定义域是(0，)，f(x)x1x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点故选D.2设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题答案D解析函数f(x)ln x的定义域为(0，)f(x)，令f(x)0，即0得，x2，当x(0,2)时，f(x)0.因为x2为f(x)的极小值点，故选D.3函数f(x)ax1ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为_考点函数在某点处取得极值的条件题点判断极值点的个数答案0解析因为x0，f(x)a，所以当a0时，f(x)0；在区间(0，)上，y0，当x(1，e)时，f(x)0，得x3.4设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则()Af(x)极大值为f()，极小值为f()Bf(x)极大值为f()，极小值为f()Cf(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)Df(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案D解析当x0，即f(x)0；当3x3时，f(x)0.f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(3)5已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的()A极大值为，极小值为0B极大值为0，极小值为C极小值为，极大值为0D极大值为，极小值为0考点函数某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题答案A解析f(x)3x22pxq.由函数f(x)的图象与x轴切于点(1,0)，得pq1，q1p，32pq0，联立，解得p2，q1，函数f(x)x32x2x，则f(x)3x24x1，令f(x)0得x1或x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)极大值f，f(x)极小值f(1)0.故选A.6设ab，函数y(xa)2(xb)的图象可能是()考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案C解析y(xa)(3xa2b)，由y0得x1a，x2.当xa时，y取得极大值0，当x时，y取得极小值且极小值为负，故选C.7已知函数f(x)ex(sin xcos x)，x(0,2 017)，则函数f(x)的极大值之和为()A. B.C. D.考点函数某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题答案B解析f(x)2exsin x，令f(x)0得sin x0，xk，kZ，当2kx0，f(x)单调递增，当(2k1)x2k时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(2k1)时，f(x)取到极大值，x(0,2 017)，0(2k1)2 017，0k0恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且x0；当2x1时，f(x)1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.11已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则f(1)_.考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数答案30解析由题意知即解得或经检验知，当时，f(x)0，不合题意f(x)x34x211x16，则f(1)30.三、解答题12设函数f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数函数求极值解(1)f(x).由题意知，曲线在x1处的切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为单调递增函数故f(x)在x1处取得极小值，极小值为f(1)3.13已知函数f(x)x3mx22m2x4(m为常数，且m0)有极大值，求m的值考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数解f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，得xm或xm.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)极大值极小值f(x)有极大值f(m)m3m32m34，m1.四、探究与拓展14设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案C解析由题意可得f(2)0，而且当x(，2)时，f(x)0；排除B，D，当x(2，)时，f(x)0，此时若x(2,0)，xf(x)0，所以函数yxf(x)的图象可能是C.15已知函数f(x)(x2axa)ex(a2，xR)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数解(1)f(x)(x2x1)ex，f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x2)ex.当f(x)0时，解得x1，当f(x)0时，解得2x1，所以函数的单调递增区间为(，2)，(1，)；单调递减区间为(2，1)(2)令f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(2a)x2aex(xa)(x2)ex0，得xa或x2.当a2时，f(x)0恒成立，函数无极值，故舍去；当a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，f(x)极大值f(2)(42aa)e23，解得a43e22，所以存在实数a2，使f(x)的极大值为3，此时a43e2.17
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