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第5讲指数与指数函数板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1指数及指数运算1根式的概念2分数指数幂(1)a(a0，m，nN*，n1)；(2)a(a0，m，nN*，n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)考点2指数函数及其性质1指数函数的概念函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数说明：形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数2指数函数的图象和性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数 必会结论1()na(nN*且n1)2.n为偶数且n1.3底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a1，还是0a1，在第一象限内底数越大，函数图象越高考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1) 4.()(2)函数yax(a0，且a1)是R上的增函数()(3)函数yax21(a1)的值域是(0，)()(4)函数yax与yax(a0，且a1)的图象关于y轴对称()答案(1)(2)(3)(4)2课本改编01(0.5)2的值为()A0 B. C3 D4答案C解析原式1(14)3.故选C.3课本改编函数f(x)ax21(a0且a1)的图象必经过点()A(0,1) B(1,1) C(2,0) D(2,2)答案D解析a01故x20时f(x)2，即x2时f(x)2.故选D.42018吉林模拟已知a20.2，b0.40.2，c0.40.75，则()Aabc Bacb Ccab Dbca答案A解析由0.20.750.40.75，即bc；因为a20.21，b0.40.2b.综上，abc.5课本改编函数f(x)21x的大致图象为()答案A解析f(x)21x22x.f(x)在R上为减函数，排除C，D；又f(0)2121，排除B.故选A.62018南通调研函数f(x)x22x的值域为_答案(0,4解析x22x(x1)211，00，b0)；(2)计算：2()6()480.25(2018)0.考向指数函数的图象及应用例2若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_答案1,1解析曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可得，如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1若将本例中“|y|2x1”改为“y|2x1|”，且与直线yb有两个公共点，求b的取值范围解曲线y|2x1|与直线yb的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)若将本例改为：直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？解y|ax1|的图象是由yax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的当a1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0a1时，要使两个图象有两个交点，则02a1，得到0a，如图(2)综上，a的取值范围是.触类旁通指数函数图象的应用技巧对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论【变式训练2】2018广东佛山模拟已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0C2a2c D2a2c2答案D解析作出函数f(x)|2x1|的图象(如图中实线所示)，又abf(c)f(b)，结合图象知f(a)1，a0，02a1，f(a)|2a1|12a，f(c)|2c1|2c1.又f(a)f(c)，即12a2c1，2a2c2.考向指数函数的性质及其应用命题角度1比较指数幂的大小例3已知a，b2，c，则下列关系式中正确的是()Acab BbacCacb Dab，所以，即ba0的解集是()Ax|x2 Bx|x4Cx|x6 Dx|x5答案D解析当x0时，由f(x)3x90得x2，所以f(x)0的解集为x|x2或x0的解集为x|x5选D.命题角度3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)2018桂林模拟已知函数y2x2ax1在区间(，3)内单调递增，则a的取值范围为_答案6，)解析函数y2x2ax1是由函数y2t和tx2ax1复合而成因为函数tx2ax1在区间上单调递增，在区间上单调递减，且函数y2t在R上单调递增，所以函数y2x2ax1在区间上单调递增，在区间上单调递减又因为函数y2x2ax1在区间(，3)内单调递增，所以3，即a6.(2)函数yxx1在x3,2上的值域为_答案解析令tx，则yt2t12，x3,2，t，当t时，ymin.当t8时，ymax57.所以函数的值域为.触类旁通有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)(2)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决核心规律1.判断指数函数图象的底数大小的问题，可以通过令x1得到底数值，再进行大小比较2.指数型函数、方程及不等式问题，可以利用指数函数的图象和性质求解满分策略1.解决指数函数有关问题时，若底数不确定，应注意对a1及0a0，且a1)的函数、方程、不等式等问题，可以利用换元法求解但一定要注意新元的范围.板块三启智培优破译高考易错警示系列2忽略指数函数底数的分类讨论致误 2018海南模拟若函数f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.错因分析误认为a1，只按一种情况求解，而忽略了0a1的情况，从而造成失误解析当0a1时，f(x)ax在1,2上的最大值a24得a2，最小值a1m，即m，这时g(x)(14m)在0，)上为减函数，不合题意，舍去，所以a.答案答题启示由于指数函数yax，当a1时为增函数，当0a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.答案解析当0a1时，函数f(x)在1,0上单调递增，由题意可得即显然无解所以ab.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12015山东高考设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca答案C解析函数y0.6x在定义域R上为单调递减函数，10.600.60.60.61.5.而函数y1.5x为单调递增函数，1.50.61.501，bac.2函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0答案D解析由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1，函数f(x)axb的图象是在yax的基础上向左平移得到的，所以b0.32018北京大兴期末下列函数中值域为正实数集的是()Ay5x By1xCy Dy3|x|答案B解析1xR，yx的值域是正实数集，y1x的值域是正实数集42018黄冈模拟已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)等于()A5 B7 C9 D11答案B解析f(x)2x2x，f(a)3，2a2a3.f(2a)22a22a(2a2a)22927.5当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是()A(2,1) B(4,3) C(1,2) D(3,4)答案C解析原不等式变形为m2mx，函数yx在(，1上是减函数，x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m0，且a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的关系是()Af(4)f(1) Bf(4)f(1)Cf(4)1，f(4)a3，f(1)a2，由单调性知a3a2，f(4)f(1)72018北京模拟函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1答案D解析与曲线yex关于y轴对称的曲线为yex，函数yex的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)e(x1)ex1.故选D.8函数yx22x1的值域为_答案(0,4解析设tx22x1(x1)22，则t2.因为yt是关于t的减函数，所以y24.又y0，所以01时，yax是增函数，a2a，a.当0a1时，yax是减函数，aa2，a.102018金版创新已知函数f(x)是奇函数，g(x)f(x)，x(1,1)，则gg的值为_答案2解析因为f(x)为奇函数，所以ff0，令h(x)，则hh2，所以gg2.B级知能提升12018厦门模拟函数f(x)1e|x|的图象大致是()答案A解析将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有A满足上述两个性质22018长春模拟若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)答案D解析不等式2x(xa)1可变形为xax.在同一平面直角坐标系内作出直线yxa与yx的图象观察图象，在(0，)上，直线有一部分在曲线的下方所以，有a1.32017山东济宁月考已知函数f(x)(a2)ax(a0，且a1)，若对任意x1，x2R，0，则a的取值范围是_答案(0,1)(2，)解析当0a1时，a20，yax单调递减，所以f(x)单调递增；当1a2时，a22时，a20，yax单调递增，所以f(x)单调递增又由题意知f(x)单调递增，故a的取值范围是(0,1)(2，)4如果函数ya2x2ax1(a0，且a1)在区间1,1上的最大值是14，求a的值解令tax，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3或a5(舍去)当0a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，则ymax2214，解得a或a(舍去)综上，a3或a.52018益阳月考已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解(1)当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使f(x)g(x)的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.13
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