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第二章 推理与证明章末复习学习目标1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题1合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断3直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推出结论的证明方法；分析法是从结论追溯到条件的证明方法(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法4数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当nn0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当nk时结论成立，推得当nk1时结论也成立1归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()2“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()3综合法是直接证明，分析法是间接证明()4反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()类型一合情推理与演绎推理例1(1)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案n(n1)解析第一个等式中1，2；第二个等式中，2，3；第三个等式中，3，4.由此可推得第n个等式等于n(n1)(2)根据图(1)的面积关系：，可猜想图(2)有体积关系：_.考点类此推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案解析题干两图中，与PAB，PAB相对应的是三棱锥PABC，PABC；与PAB两边PA，PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC.与PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为.(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案1和3解析由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意故甲的卡片上的数字是1和3.反思与感悟(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确跟踪训练1(1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成通过观察可以发现：第4个图形中有_根火柴棒；第n个图形中有_根火柴棒考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案133n1解析设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a413.通过观察得到递推关系式anan13(n2，nN*)，所以an3n1.(2)若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若SmSn(m，nN*且mn)，则Smn0.”类比上述性质，相应地，当数列bn为等比数列时，写出一个正确的性质：_.考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn(m，nN*，mn)，则Tmn1解析由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算累加类比为累乘，由此，等差数列an的性质类比到等比数列bn中为：数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn(m，nN*，mn)，则Tmn1.类型二综合法与分析法例2试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知(0，)，求证：2sin 2.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明方法一分析法要证2sin 2成立，只需证4sin cos ，(0，)，sin 0，只需证4cos ，1cos 0，4cos (1cos )1，可变形为4cos24cos 10，只需证(2cos 1)20，显然成立方法二综合法4(1cos )4，当且仅当cos ，即时取等号，4cos .(0，)，sin 0，4sin cos ，2sin 2.反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件跟踪训练2设a，b是两个正实数，且ab，求证：a3b3a2bab2.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证a3b3a2bab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，即需证a2abb2ab成立只需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而由已知条件可知，ab，所以ab0，所以(ab)20显然成立即a3b3a2bab2.类型三反证法例3若x，y都是正实数，且xy2，求证：2与2中至少有一个成立考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设2和0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.这与已知xy2矛盾故2与2中至少有一个成立反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法跟踪训练3已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设两方程都没有实数根，则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即ac0，b0，则有()A.2ba B.0，所以ex1,00，即f(x)0.所以f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是()A综合法 B分析法C反证法 D以上都不是考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案A解析这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A.2若ab0，则下列不等式中成立的是()A.bCbaD.n21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3C5 D6考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案C解析当n取1,2,3,4时，2nn21不成立，当n5时，253252126，即第一个能使2nn21成立的n值为5，故选C.7已知abc0，则abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0考点综合法及应用题点综合法的应用答案D解析因为(abc)2a2b2c22(abbcca)0，又因为a2b2c20，所以2(abbcca)0，即abbcca0.8某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位：次)63a7560637270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A2号学生进入30秒跳绳决赛B5号学生进入30秒跳绳决赛C8号学生进入30秒跳绳决赛D9号学生进入30秒跳绳决赛考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案B解析进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号若a63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61a63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意；若a60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若a59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意综上可知，5号进入30秒跳绳决赛二、填空题9已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案正四面体的内切球的半径是高的解析原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积Sah13arrh1(其中a是正三角形的边长，h1是高，r是内切圆半径)类比，用等体积法，VSh24RSRh2(其中S为底面正三角形的面积，h2是高，R是内切球的半径)10已知2，3，4，6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则ab_.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案41解析由题意归纳推理得6，b62135，a6.ab63541.11完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则_均为奇数因为7个奇数之和为奇数，故有(a11)(a22)(a77)为_而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.与矛盾，故p为偶数考点反证法及应用题点反证法的应用答案a11，a22，a77奇数0解析由假设p为奇数可知，(a11)，(a22)，(a77)均为奇数，故(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0为奇数，这与0为偶数相矛盾三、解答题12用综合法或分析法证明：(1)如果a，b0，则lg；(2)622.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明(1)当a，b0时，有，lglg，lglg(ab).(2)要证22，只需证()2(22)2，即22，这是显然成立的，原不等式成立13求证：不论x，y取何非零实数，等式总不成立考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设存在非零实数x，y使得等式成立于是有y(xy)x(xy)xy，即x2y2xy0，即2y20.由y0，得y20.又20，所以2y20.与x2y2xy0矛盾，故原命题成立四、探究与拓展14设S，V分别表示表面积和体积，如ABC的面积用SABC表示，三棱锥OABC的体积用VOABC表示，对于命题：如果O是线段AB上一点，则|0.将它类比到平面的情形时，应该有：若O是ABC内一点，有SOBCSOCASOBA0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O是三棱锥ABCD内一点，则有_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案VOBCDVOACDVOABDVOABC015给出下列等式：11，14(12)，149123，14916(1234)，(1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n(nN*)个等式；(2)用数学归纳法证明你猜想的等式考点利用数学归纳法证明等式题点等式中的归纳、猜想、证明(1)解第5个等式为149162512345，第6个等式为149162536(123456)猜想第n个等式为12223242(1)n1n2(1)n1(123n)(2)证明当n1时，左边121，右边(1)011，左边右边，猜想成立假设当nk(k1，kN*)时，猜想成立，即12223242(1)k1k2(1)k1，则当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k，故当nk1时，猜想也成立由可知，对于任意nN*，猜想均成立16
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