2022年高考数学黄金考点 直线与圆锥曲线的位置关系

2022年高考数学黄金考点 直线与圆锥曲线的位置关系一知识网络结构：2.直线与圆锥曲线的位置关系：.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。.若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。二常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：例1.椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）A.3 B. C. D.例2.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A. B. C. D.题型二：直线与双曲线的位置关系：例3.已知直线与双曲线=4。若直线与双曲线无公共点，求k的范围；若直线与双曲线有两个公共点，求k的范围；若直线与双曲线有一个公共点，求k的范围；若直线与双曲线的右支有两个公共点，求k的范围；若直线与双曲线的两支各有一个公共点，求k的范围。题型三：直线与抛物线的位置关系：例4.在抛物线上求一点P，使P到焦点F与P到点的距离之和最小。题型四：弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则=可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。例5.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，求。题型五：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程；.设弦的两个端点分别为，则这两点坐标分别满足曲线方程，又为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。例6.已知双曲线方程=2。求以A为中点的双曲线的弦所在的直线方程；过点能否作直线L，使L与双曲线交于，两点，且，两点的中点为？如果存在，求出直线L的方程；如果不存在，说明理由。题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：例7.在抛物线上求一点，使它到直线L：的距离最短，并求这个最短距离。练 习 题1.（09上海）过点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，则= 。写出所涉及到的公式：2.（09海南）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。3.（08宁夏海南）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为 4.（11全国）已知直线L过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，L与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，则的面积为（ ）A18 B24 C 36 D 485.（09山东）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A. B. C. D. 6.（09山东）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A. B. 5 C. D. 7.（10全国）设,分别是椭圆E：+=1（0b1）的左、右焦点，过的直线L与E相交于A、B两点，且，成等差数列。求若直线L的斜率为1，求b的值。8.（11江西）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且求该抛物线的方程；为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值直线与圆锥曲线的位置关系一.选择题(1)与直线2x-y+4=0平行的拋物线y= x2的切线方程是 ( )A 2x-y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x-y+1=0 D 2x-y-1=0(2) 椭圆+ y2 = 1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则| | = ( ) A. B. C. D. 4(3) 设双曲线 (0ab)的半焦距c, 直线l过(a, 0), (0, b)两点. 已知原点到直线l的距离为c, 则双曲线的离心率为 ( )A 2 B C D (4) 已知拋物线y=2x2上两点A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线y=x+m对称, 且x1x2=-, 那么m的值等于 ( )A B C 2 D 3(5)过双曲线2x2-y2-8x+6=0的由焦点作直线l交双曲线于A、B两点, 若|AB|=4, 则这样的直线有 ( )A 4条 B 3条 C 2条 D 1条(6) 如果过两点和的直线与拋物线没有交点，那么实数的取值范围是 （ ）A (, +) B （- ,） C （- ,-） D （- ,）(7) 设拋物线y2 = 8x的准线与x轴交点Q,若过点Q的直线l与拋物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ( ) A. , B. 2 , 2 C. 1 , 1 D. 4 , 4 (8) 过椭圆的左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点, 若|FA|=2|FB|则椭圆的离心率是 ( )A B C D (9) 已知F1, F2是双曲线的两个焦点, Q是双曲线上任意一点, 从某一焦点引F1QF2平分线的垂线, 垂足为P, 则点P的轨迹是 ( )A 直线 B 圆 C 椭圆 D 双曲线(10) 对于拋物线C: y2=4x, 我们称满足y02)的线段AB的端点在双曲线b2x2-a2y2=a2b2的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为 .三.解答题(15) 如图,拋物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点, 点P(1,2), A(x1, y1), B(x2,y2)均在直线上.()写出该拋物线的方程及其准线方程；()当PA与PB的斜率存在且倾角互补时,求的值及直线AB的斜率.(16) 设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求： （）动点P的轨迹方程； （）的最小值与最大值. (17) 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1.（）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（）当时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.(18) 设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在点P，使得直线PF2与直线PF2垂直. （）求实数m的取值范围； （）设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Q. 若，求直线PF2的方程.第十三单元一选择题: 1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.C 9.B 10.D 二填空题: 11. 3, 12. -1,3, 13. 4, 14. .三解答题(15)解()由已知条件,可设拋物线的方程为点P(1,2)在拋物线上,得=2.故所求拋物线的方程是准线方程是x=-1.() 设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,由A(x1,y1), B(x2,y2)在拋物线上,得 由-得直线AB的斜率 (16) （）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解.将代入并化简得，所以于是设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 . 得，所以 当时，有 并且 将代入并整理得 . 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为（）解：由点P的轨迹方程知所以故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为(17) 解: ()由条件得直线AP的方程即因为点M到直线AP的距离为1,即.解得+1m3或-1m1-. m的取值范围是()可设双曲线方程为由得.又因为M是APQ的内心,M到AP的距离为1,所以MAP=45,直线AM是PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1。因此，（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为。直线AP的方程y=x-1,解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为 即(18)（）由题设有设点P的坐标为（），由，得，化简得 将与联立，解得 由所以m的取值范围是.（）准线L的方程为设点Q的坐标为，则 将代入，化简得由题设，得 ，无解.将代入，化简得由题设，得 解得m=2.从而得到PF2的方程