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专题六 函数、不等式、导数研高考明考点年份卷别小题考查大题考查2017卷T5函数的单调性、奇偶性T21利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题T11指数与对数互化、对数运算、比较大小T14线性规划求最值卷T5线性规划求最值T21利用导数研究函数的单调性及极值，函数的零点，证明不等式T11导数的运算、利用导数判断函数的单调性、求极值卷T11函数的零点问题T21导数在研究函数单调性中的应用，不等式的放缩T13线性规划求最值T15分段函数与不等式的解法2016卷T7函数图象的识别T21利用导数研究函数的零点，证明不等式T8基本初等函数的单调性、比较大小T16线性规划求最值问题的实际应用卷T12函数图象对称性的应用T21利用导数判断函数的单调性，证明不等式，求函数的最值T16导数的几何意义、求两函数的公共切线卷T6指数函数与幂函数值的大小比较T21导数在研究函数极值、最值中的应用，放缩法证明不等式T13线性规划求最值T15偶函数的性质、导数的几何意义2015卷T12函数的概念与不等式的解法T21导数的几何意义，函数的最值、零点问题T13偶函数的定义T15线性规划求最值卷T5对数运算、分段函数求值T21利用导数研究函数的单调性，已知不等式恒成立求参数的取值范围T10函数图象的判断T12导数与抽象函数的单调性、奇偶性T14线性规划求最值析考情明重点小题考情分析大题考情分析常考点1.函数图象与性质及其应用(3年7考) 2.线性规划问题(3年7考) 3.函数与不等式问题(3年4考)常考点高考对此部分在解答题中的考查以导数的应用为主，主要考查导数、含参不等式、方程、探索性问题等方面的综合应用，难度较大，题型主要有：1.导数的简单应用问题2.导数与函数零点或方程根的问题3.导数与不等式恒成立、存在性问题4.导数与不等式的证明问题偶考点1.函数与方程2.不等式的性质3.利用导数研究函数的单调性、极值最值问题4.导数的几何意义偶考点导数与函数、不等式的其他综合问题第一讲 小题考法函数的图象与性质考点(一)主要考查函数的定义域、分段函数求值或已知函数值(取值范围)求字母的值(取值范围)等.函数的概念及表示典例感悟典例(1)(2015全国卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)()A3 B6 C9 D12(2)(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_解析(1)21，f(log212)2log21216.f(2)f(log212)369.故选C.(2)由题意知，当x0时，原不等式可化为x1x1，解得x，x0；当01，显然成立；当x时，原不等式可化为2x2x1，显然成立综上可知，x的取值范围是.答案(1)C(2)方法技巧1函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可2分段函数问题的5种常见类型及解题策略常见类型解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解演练冲关1(2018届高三浙江名校联考)已知函数f(x)则f(2 017)()A1 Be C. De2解析：选B由已知可得，当x2时，f(x)f(x4)，故f(x)在x2时的周期为4，则f(2 017)f(2 017)f(2 0161)f(1)e.2(2017山东高考)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2 B4 C6 D8解析：选C当0a1时，a11，f(a)，f(a1)2(a11)2a，f(a)f(a1)，2a，解得a或a0(舍去)ff(4)2(41)6.当a1时，a12，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，2(a1)2a，无解综上，f6.3已知函数f(x)则f(f(x)2的解集为()A(1ln 2，) B(，1ln 2)C(1ln 2,1) D(1,1ln 2)解析：选B因为当x1时，f(x)x3x2，当x1时，f(x)2ex12，所以f(f(x)2等价于f(x)1，即2ex11，解得x1ln 2，所以f(f(x)2的解集为(，1ln 2)，故选B.考点(二)主要考查根据函数的解析式选择图象或利用函数的图象选择解析式、利用函数的图象研究函数的性质、方程的解以及解不等式、比较大小等问题.函数的图象及应用典例感悟典例(1)(2017全国卷)函数y的部分图象大致为()(2)(2015全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析(1)令函数f(x)，其定义域为x|x2k，kZ，又f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)0，f()0，故排除A、D，选C.(2)当x时，f(x)tan x，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x时，ff1，f2.21，fff，从而排除D，故选B.答案(1)C(2)B方法技巧由函数解析式识别函数图象的策略演练冲关1(2017惠州调研)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()Af(x)Bf(x)Cf(x)1Df(x)x解析：选A由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，排除B、C.若函数为f(x)x，则当x时，f(x)，排除D，故选A.2(2017全国卷)函数y1x的部分图象大致为()解析：选D法一：易知函数g(x)x是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y1x的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x时，0,1x，y1x，故排除选项B.当0x时，y1x0，故排除选项A、C.故选D.3.如图，已知l1l2，圆心在l1上、半径为1 m 的圆O在t0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令ycos x，则y与时间t(0t1，单位：s)的函数yf(t)的图象大致为()解析：选B如图，设MON，由弧长公式知x.在RtAOM中，|AO|1t，cos1t，ycos x2cos212(1t)21.又0t1，故选B.考点(三)主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性以及函数值的取值范围、比较大小等.函数的性质及应用典例感悟典例(1)(2016全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)()A0 BmC2m D4m(2)(2017成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x3)f(x)，且当x时，f(x)x3，则f()A B. C D.(3)(2017四川模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足下列三个条件：对任意的xR都有f(x2)f(x)；对任意的0x1x22，都有f(x1)f(x2)；f(x2)的图象关于y轴对称则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是_(用“”连接)解析(1)因为f(x)2f(x)，所以f(x)f(x)2.因为0，1，所以函数yf(x)的图象关于点(0,1)对称函数y1，故其图象也关于点(0,1)对称所以函数y与yf(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i0，i2m，所以(xiyi)m.(2)由f(x3)f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以fff3.(3)由可知，f(x)是一个周期为4的函数；由可知，f(x)在0,2上是增函数；由可知，f(x)的图象关于直线x2对称故f(4.5)f(0.5)，f(6.5)f(2.5)f(1.5)，f(7)f(3)f(1)，f(0.5)f(1)f(1.5)，即f(4.5)f(7)f(6.5)答案(1)B(2)B(3)f(4.5)f(7)0 B增函数且f(x)0 D减函数且f(x)0解析：选D由f(x)为奇函数，f(x1)f(x)得，f(x)f(x1)f(x2)，f(x)是周期为2的周期函数根据条件，当x，1时，f(x)log，x2，(x2)，f(x)f(x2)f(2x)log.设2xt，则t，x2t，f(t)logt，f(t)log，f(x)log，x，可以看出当x增大时，x减小，log增大，f(x)减小，在区间内，f(x)是减函数而由1x得0x1，f(x)0时，f(x)x21，则f(x)在区间(0，)上是增函数，且函数值f(x)1；当x0时，f(x)cos x，则f(x)在区间(，0上不是单调函数，且函数值f(x) 1,1所以函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为1，)故选D.3(2017合肥模拟) 函数y的图象大致是()解析：选D易知函数y是偶函数，可排除B，当x0时，yxln x，yln x1，令y0，得xe1，所以当x0时，函数在(e1，)上单调递增，结合图象可知D正确，故选D.4已知函数f(x1)是定义在R上的奇函数，且在0，)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是()解析：选B函数f(x1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象因为函数f(x1)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，排除A，C，D，故选B.5(2017长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递增的是()Ayexex Byln(|x|1)Cy Dyx解析：选D选项A，B是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，)上不是单调函数，不符合题意；选项D中，yx是奇函数，且yx和y在(0，)上均为增函数，故yx在(0，)上为增函数，所以选项D正确故选D.6(2017陕西质检)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x2)为偶函数，则f(8)()A1 B0C1 D2解析：选B由奇函数f(x)的定义域为R，可得f(0)0，由f(x2)为偶函数，可得f(x2)f(x2)，故f(x4)f(x2)2f(x2)2f(x)f(x)，则f(x8)f(x4)4f(x4)f(x)f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以f(8)f(0)0，故选B.7函数y在2,2上的图象大致为()解析：选B当x(0,2时，函数y，x20恒成立，令g(x)ln x1，则g(x)在(0,2上单调递增，当x时，y0，则当x时，y0，函数y在(0,2上只有一个零点，排除A，C，D，只有选项B符合题意8(2017天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbc0时，f(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，且g(x)0.又ag(log25.1)g(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，2082log24log25.1log283，所以bac.9已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)；当x时，ff，则f(6)()A2 B1C0 D2解析：选D由题意知当x时，ff，则f(x1)f(x)又当1x1时，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)又当x0时，f(x)x31，f(1)2，f(6)2.故选D.10已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)若方程f(x)xa有两个不同实根，则a的取值范围为()A(，1) B(，1C(0,1) D(，)解析：选Ax0时，f(x)2x1，0x1时，10时，f(x)是周期函数，f(x)的图象如图所示若方程f(x)xa有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线yxa有两个不同交点，故a1)，都有f(x2)g(x)，则m的取值范围是()A(1,2ln 2) B.C(ln 2,2 D.解析：选D作出函数y1e|x2|和yg(x)的图象，如图所示，由图可知当x1时，y1g(1)，又当x4时，y1e24时，由ex24e5x，得e2x74，即2x7ln 4，解得xln 2，又m1，1mln 2.12(2017洛阳统考)已知函数f(x)若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是()A(1,2 B(，2C(0,2 D2，)解析：选A依题意，当x1时，f(x)1log2x单调递增，f(x)1log2x在区间1，)上的值域是1，)因此，要使函数f(x)的值域是R，则需函数f(x)在(，1)上的值域M(，1)当a10，即a1时，函数f(x)在(，1)上单调递减，函数f(x)在(，1)上的值域M(a3，)，显然此时不能满足M(，1)，因此a0，即a1时，函数f(x)在(，1)上单调递增，函数f(x)在(，1)上的值域M(，a3)，由M(，1)得解得10，则a的取值范围是_解析：由f(x)0可得，a(x2)x33x2，原问题等价于不等式a(x2)x33x2的解集中只包含唯一的正整数，结合函数g(x)a(x2)，h(x)x33x2的图象(图略)可知唯一的正整数只可能是1或2.若x01，则即解得a；若x02，则即答案：B组能力小题保分练1(2017郑州质检)函数f(x)cos x的图象大致为()解析：选C依题意，f(x)cos(x)cos xcos xf(x)，因此函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A，B均不正确；当0x1时，0，f(x)0，结合选项知，C正确，故选C.2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析：选D因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0，a1)的反函数的图象经过点.若函数g(x)的定义域为R，当x2,2时，有g(x)f(x)，且函数g(x2)为偶函数，则下列结论正确的是()Ag()g(3)g() Bg()g()g(3)Cg()g(3)g() Dg()g()g(3)解析：选C因为函数f(x)的反函数的图象经过点，所以函数f(x)的图象经过点，所以a，即a，函数f(x)在R上单调递减函数g(x2)为偶函数，所以函数g(x)的图象关于直线x2对称，又x2,2时，g(x)f(x)且g(x)单调递减，所以x2,6时，g(x)单调递增，根据对称性，可知在2,6上距离对称轴x2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g()g(3)0)关于直线yx对称，且f(2)2f(1)，则a_.解析：依题意得，曲线yf(x)即为x(y)2a(y0且a1)满足f(x)1，则函数yloga(x1)的图象大致为()(2)(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A2x3y5z B5z2x3yC3y5z2x D3y2x5z解析(1)由a|x|1(xR)，知0a1，xlog2k，ylog3k，zlog5k.2x3y2log2k3log3k0，2x3y；3y5z3log3k5log5k0，3y5z；2x5z2log2k5log5k2x.5z2x3y.答案(1)C(2)D方法技巧3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小演练冲关1(2017北京高考)已知函数f(x)3xx，则f(x)()A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数解析：选A因为f(x)3xx，且定义域为R，所以f(x)3xxx3x3xxf(x)，即函数f(x)是奇函数又y3x在R上是增函数，yx在R上是减函数，所以f(x)3xx在R上是增函数2(2017洛阳统考)已知f(x)是偶函数，当x0时，f(x)单调递减，设a21.2，b0.8，c2log52，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()Af(c)f(b)f(a) Bf(c)f(a)f(b)f(a) Df(c)f(a)f(b)解析：选C依题意，注意到21.220.80.81log55log542log520，又函数f(x)在区间(0，)上是减函数，于是有f(21.2)f(20.8)f(2log52)，由函数f(x)是偶函数得f(a)f(21.2)，因此f(a)f(b)0时，f(x)ln xx1，则函数g(x)f(x)ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A0 B1C2 D3(2)(2017成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x1,0时，f(x)x3，则关于x的方程f(x)|cos x|在上的所有实数解之和为()A7 B6C3 D1(3)(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()A B.C. D1解析(1)当x0时，f(x)ln xx1，f(x)1，所以x(0,1)时，f(x)0，此时f(x)单调递增；x(1，)时，f(x)0时，f(x)maxf(1)ln 1110.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数yf(x)与yex的大致图象，如图，观察到函数yf(x)与yex的图象有两个交点，所以函数g(x)f(x)ex(e为自然对数的底数)有2个零点故选C.(2)因为函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，即f(x)f(x2)，所以函数f(x)的周期为2，又当x1,0时，f(x)x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数yf(x)与y|cos x|的图象，如图所示由图知关于x的方程f(x)|cos x|在上的实数解有7个不妨设x1x2x3x4x5x60，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一综上所述，a.答案(1)C(2)A(3)C方法技巧1判断函数零点个数的方法直接法直接求零点，令f(x)0，则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解演练冲关1已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2 B3 C4 D5解析：选A由已知条件得g(x)3f(2x)函数yf(x)g(x)的零点个数即为函数yf(x)与yg(x)图象交点的个数，分别画出函数yf(x)，yg(x)的草图，观察发现有2个交点故选A.2(2017洛阳统考)已知函数f(x)ln xax2x有两个零点，则实数a的取值范围是()A(，1)B(0,1)C. D.解析：选B依题意，关于x的方程ax1有两个不等的正实数根记g(x)，则g(x)，当0x0，g(x)在区间(0，e)上单调递增；当xe时，g(x)0，g(x)在区间(e，)上单调递减，且g(e)，当0x1时，g(x)0.设直线ya1x1与函数g(x)的图象相切于点(x0，y0)，则有由此解得x01，a11.在坐标平面内画出直线yax1与函数g(x)的大致图象，结合图象可知，要使直线yax1与函数g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是(0,1)，故选B.3(2017山东高考)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0,12，) B(0,13，)C(0， 2，) D(0， 3，)解析：选B在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当01时，01，如图，要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)必备知能自主补缺 (一) 主干知识要记牢1指数函数与对数函数的对比表解析式yax(a0与a1)ylogax(a0与a1)图象定义域R(0，)值域(0，)R单调性0a1时，在R上是减函数；a1时，在R上是增函数0a1时，在(0，)上是减函数；a1时，在(0，)上是增函数两图象的对称性关于直线yx对称2.方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标所以方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(2)函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的实数根针对练1在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.解析：选C因为fe43e20，ff0，a1)的单调性时忽视字母a的取值范围，忽视ax0；研究对数函数ylogax(a0，a1)时忽视真数与底数的限制条件2易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化3函数f(x)ax2bxc有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零针对练2函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围为_解析：当m0时，f(x)2x1，则x为函数的零点当m0时，若44m0，即当m1时，x1是函数唯一的零点若44m0，即m1时，显然x0不是函数的零点这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)mx22x1有一个正根一个负根因此0.则mcb BbacCabc Dcba解析：选C依题意得，a2，b3，ccos x，所以a622，b633，c66，则a6b6c6，即abc，故选C.4函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：选Cf(0)e00210，f(0)f(1)0时，f(x)2x6ln x，f(x)2，由x0知f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，而f(1)40，f(1)f(e)0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny20上，其中m0，n0，则的最小值为()A2B4C. D.解析：选D由函数yloga(x3)1(a0，且a1)知，当x2时，y1，所以A点的坐标为(2，1)，又因为点A在直线mxny20上，所以2mn20，即2mn2，所以22 ，当且仅当mn时等号成立所以的最小值为，故选D.10(2017长春质检)已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对任意实数x12，则不等式f(log2|3x1|)3log|3x1|的解集为()A(，0)(0,1) B(0，)C(1,0)(0,3) D(，1)解析：选A令F(x)f(x)2x，由对任意实数x12，可得f(x1)2x1f(x2)2x2，即F(x1)F(x2)，所以F(x)在定义域内单调递增，由f(1)1，得F(1)f
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