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第1章 立体几何初步章末复习学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的三视图与直观图，能计算几何体的表面积与体积1空间几何体的结构特征及其侧面积和体积名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行S直棱柱侧Ch，C为底面的周长，h为高VSh棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形S正棱锥侧Ch，C为底面的周长，h为斜高VSh，h为高棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分S正棱台侧(CC)h，C，C为底面的周长，h为斜高V(S上S下)h，h为高旋转体圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧2rh，r为底面半径，h为高VShr2h圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧rl，r为底面半径，h为高，l为母线VShr2h圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分S侧(r1r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线V(S上S下)h(rrr1r2)h球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体S球面4R2，R为球的半径VR32空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括主视图、左视图、俯视图三种画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出熟记常见几何体的三视图画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：画轴；画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x、y、z轴的线段；截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化. (3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段等积变换，如三棱锥转移顶点等复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等3四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行4直线与直线的位置关系5平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab(2)面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba(3)空间中的平行关系的内在联系6垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直图形条件结论判定ab，b(b为内的任意直线)aam，an，m，n，mnOaab，ab性质a，baba，bab(2)平面与平面垂直的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l(3)空间中的垂直关系的内在联系7空间角(1)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：设两异面直线所成角为，则090.(2)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，则mn.()2已知a，b是两异面直线，ab，点Pa且Pb，一定存在平面，使P，a且b.()3平面平面，直线a，直线b，那么直线a与直线b的位置关系一定是垂直()4球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径()5若m，n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n或n.()类型一由三视图求几何体的表面积与体积例1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A12 B18 C24 D30考点题点答案C解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的在长方体中分析还原，如图(1)所示， 故该几何体的直观图如图(2)所示在图(1)中，PB14336.故几何体ABCPA1C1的体积为30624.故选C.反思与感悟(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用跟踪训练1已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B3 C. D6答案B解析将三视图还原为直观图求体积由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V1243.类型二平行问题例2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题解当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，则PFPB.四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点OFPD.又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD.又MAPB，MAPB，PFMA，PFMA.四边形AFPM是平行四边形AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD.AF平面PMD.又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC.平面AFC平面PMD.反思与感悟(1)证明线线平行的依据平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理(2)证明线面平行的依据定义；线面平行的判定定理；面面平行的性质(3)证明面面平行的依据定义；面面平行的判定定理；线面垂直的性质；面面平行的传递性跟踪训练2如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD平面ABCD，所以PO平面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，所以平面GEFH必过平面ABCD的一条垂线，所以PO平行于这条垂线，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.又因为平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD，所以POGK，所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2，得EBABKBDB14，从而KBBDOB，即K是OB的中点再由POGK得GKPO，所以G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3，故四边形GEFH的面积SGK318.类型三垂直问题例3如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，PA，AD平面PAD，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.反思与感悟(1)两条异面直线相互垂直的证明方法定义；线面垂直的性质(2)直线和平面垂直的证明方法线面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理(3)平面和平面相互垂直的证明方法定义；面面垂直的判定定理跟踪训练3如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB90，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BCCAAA1.(1)求证：平面ACC1A1平面B1C1CB；(2)求证：BC1AB1.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明(1)设BC的中点为M，点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，B1M平面ABC.AC平面ABC，B1MAC.又BCAC，B1MBCM，B1M，BC平面B1C1CB，AC平面B1C1CB.又AC平面ACC1A1，平面ACC1A1平面B1C1CB.(2)连接B1C.AC平面B1C1CB，ACBC1.在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1.四边形B1C1CB是菱形，B1CBC1.又B1CACC，BC1平面ACB1，BC1AB1.类型四空间角问题例4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点(1)求证：平面MNF平面ENF；(2)求二面角MEFN的正切值考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直(1)证明连接MN，N，F均为所在棱的中点，NF平面A1B1C1D1.而MN平面A1B1C1D1，NFMN.又M，E均为所在棱的中点，C1MN和B1NE均为等腰直角三角形MNC1B1NE45，MNE90，MNNE，又NENFN，MN平面NEF.而MN平面MNF，平面MNF平面ENF.(2)解在平面NEF中，过点N作NGEF于点G，连接MG.由(1)知MN平面NEF，又EF平面NEF，MNEF.又MNNGN，EF平面MNG，EFMG.MGN为二面角MEFN的平面角设该正方体的棱长为2，在RtNEF中，NG，在RtMNG中，tanMGN.二面角MEFN的正切值为.反思与感悟(1)面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法；(2)找二面角的平面角的方法有以下两种：作棱的垂面；过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线跟踪训练4如图，在圆锥PO中，已知PO底面O，PO，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直(1)证明连接OC.PO底面O，AC底面O，ACPO.OAOC，D是AC的中点，ACOD.又ODPOO，AC平面POD.又AC平面PAC，平面POD平面PAC.(2)在平面POD内，过点O作OHPD于点H.由(1)知，平面POD平面PAC，又平面POD平面PACPD，OH平面PAC.又PA平面PAC，PAOH.在平面PAO中，过点O作OGPA于点G，连接HG，则有PA平面OGH，PAHG.故OGH为二面角BPAC的平面角C是的中点，AB是直径，OCAB.在RtODA中，ODOAsin 45.在RtPOD中，OH.在RtPOA中，OG.在RtOHG中，sinOGH.cosOGH .故二面角BPAC的余弦值为.1如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A是棱台 B是圆台C是棱锥 D不是棱柱考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案C解析图不是由棱锥截来的，所以不是棱台；图上、下两个面不平行，所以不是圆台；图是棱锥，图前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱，故选C.2设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个说法：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若，则. 其中正确说法的序号是()A B C D考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案A解析如果m，则m不平行于；若m，n，则m，n相交，平行或异面，若，则，相交或平行3正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为()A1 B1 C2 D3考点题点答案B解析设正方体棱长为a，S正方体表面积6a2，正三棱锥侧棱长为a，则三棱锥表面积为S三棱锥表面积42a22a2.4某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台组合的几何体的表面积与体积答案8040解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm，下面长方体的底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如图所示，其表面积S62224242422280(cm2)体积V22244240(cm3)5.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，平面VAB平面ABCAB，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.又因为OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB.1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为2研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.一、选择题1给出下列说法中正确的是()A棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B底面是矩形的平行六面体是长方体C棱柱的底面一定是平行四边形D棱锥的底面一定是三角形考点多面体的结构特征题点多面体的结构特征答案A解析平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故A正确；三棱柱的底面是三角形，故C错误；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错误；四棱锥的底面是四边形，故D错误故选A.2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()考点由三视图还原实物图题点其他柱、锥、台、球组合的三视图还原实物图答案D解析A项的主视图如图(1)，B项的主视图如图(2)，故均不符合题意；C项的俯视图如图(3)，也不符合题意，故选D.3下列说法正确的是()A经过空间内的三个点有且只有一个平面B如果直线l上有一个点不在平面内，那么直线上所有点都不在平面内C四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案C解析在A中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面，故A错误；在B中，如果直线l上有一个点不在平面内，那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面内，故B错误；在C中，如图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故C正确；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台，故D错误故选C.4设l是二面角，直线a在平面内，直线b在平面内，且a，b与l均不垂直，则()Aa与b可能垂直也可能平行Ba与b可能垂直，但不可能平行Ca与b不可能垂直，但可能平行Da与b不可能垂直，也不可能平行考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系的判定答案A解析l是二面角，直线a在平面内，直线b在平面内，且a，b与l均不垂直，当al，且bl时，由平行公理得ab，即a，b可能平行，故B与D不正确；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则al与已知矛盾，若二面角不是直二面角，则a，b可以垂直，且满足条件，故C不正确；a与b有可能垂直，也有可能平行，故选A.5在空间中，a，b是不重合的直线，是不重合的平面，则下列条件中可推出ab的是()Aa，b， Ba，bCa，b Da，b考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行答案C解析对于A，若a，b，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于B，若a，b，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于C，若a，b，由线面垂直的性质定理，可得ab；对于D，若a，b，则由线面垂直的定义可得ab，故选C.6算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. B. C. D.考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案D解析设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L2r，r，Vr2h.令L2h，得，故选D.7.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CAE，B1C1为异面直线，且AEB1C1DA1C1平面AB1E考点线面平行、垂直的综合问题题点平行与垂直判定答案C解析由已知ACAB，E为BC的中点，得AEBC.又BCB1C1，AEB1C1，C正确8在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABAD2，CC1，则二面角C1BDC的大小为()A30 B45 C60 D90考点二面角题点知题作角答案A解析如图，连接AC交BD于点O，连接OC1.因为ABAD2，所以ACBD，又易知BD平面ACC1A1，所以BDOC1，所以COC1为二面角C1BDC的一个平面角因为在COC1中，OC，CC1，所以tanCOC1，所以二面角C1BDC的大小为30.二、填空题9圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的2倍，则两底面圆的半径分别为_考点题点答案a,2a解析如图，画出圆台轴截面，由题设，得OPA30，AB2a，设O1Ar，PAx，则OB2r，x2a4r，且x2r，ar，即两底面圆的半径分别为a,2a.10.一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为_考点直线与平面平行的性质题点与性质有关的计算问题答案解析在平面VAC内作直线PDAC，交VC于D，在平面VBA内作直线PFVB，交AB于F，过点D作直线DEVB，交BC于E，连接EF.PFDE，P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，则四边形PDEF为边长为a的正方形，故其面积为.11.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cos cos _.考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案2解析由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos ，cos ，所以cos cos 2.三、解答题12一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点) (1)求证：MN平面CDEF；(2)求多面体ACDEF的体积考点题点(1)证明由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且ABBCBF2，DECF2，CBF90.取BF的中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC的中点可知，NGCF，MGEF.又MGNGG，CFEFF，平面MNG平面CDEF.又MN平面MNG，MN平面CDEF.(2)解作AHDE于点H，由于三棱柱ADEBCF为直三棱柱，平面CDEF平面ADEAH，AH平面ADE，AH平面CDEF，且AH.VACDEFS四边形CDEFAH22.13如图所示，在几何体ABCDFE中，ABC，DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积；(2)证明：平面ADE平面BCF.考点题点(1)解取BC的中点为O，ED的中点为G，连接AO，OF，FG，AG.AOBC，AO平面ABC，平面BCED平面ABC，平面BCED平面ABCBC，AO平面BCED.同理FG平面BCED.AOFG，VABCDFE42.(2)证明由(1)知AOFG，AOFG，四边形AOFG为平行四边形，AGOF.又DEBC，DEAGG，DE平面ADE，AG平面ADE，FOBCO，FO平面BCF，BC平面BCF，平面ADE平面BCF.四、探究与拓展14如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABBC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是()EF与BB1垂直；EF平面BCC1B1；EF与C1D所成的角为45；EF平面A1B1C1D1.A B C D考点线面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案B解析显然正确，错误15如图，在ABC中，O是BC的中点，ABAC，AO2OC2.将BAO沿AO折起，使B点与图中B点重合(1)求证：AO平面BOC；(2)当三棱锥BAOC的体积取最大时，求二面角ABCO的余弦值；(3)在(2)的条件下，试问在线段BA上是否存在一点P，使CP与平面BOA所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求AP的长考点空间角问题题点空间角的综合问题(1)证明ABAC且O是BC的中点，AOBC，即AOOB，AOOC，又OBOCO，OB平面BOC，OC平面BOC，AO平面BOC.(2)解在平面BOC内，作BDOC于点D，则由(1)可知BDOA，又OCOAO，BD平面OAC，即BD是三棱锥BAOC的高，又BDBO，当D与O重合时，三棱锥BAOC的体积最大，过O作OHBC于点H，连接AH，如图由(1)知AO平面BOC，又BC平面BOC，BCAO，AOOHO，BC平面AOH，BCAH，AHO即为二面角ABCO的平面角在RtAOH中，AO2，OH，AH，cosAHO，故二面角ABCO的余弦值为.(3)解如图，连接OP，在(2)的条件下，易证OC平面BOA，CP与平面BOA所成的角为CPO，sinCPO，CP.又在ACB中，sinABC，CPAB，BP，AP. 25
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