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专题七 选考内容第一讲 选修44坐标系与参数方程考情分析 1坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用2全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用考点一极坐标方程及其应用典例感悟典例1(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 2sin2.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.方法技巧1求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程熟练掌握互换公式是解决问题的关键2解决极坐标交点问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标演练冲关1(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，即sin 2cos ，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.考点二参数方程及其应用典例感悟典例2(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30，由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为 ，由题设得，解得a8；当a4时，d的最大值为，由题设得，解得a16.综上，a8或a16.方法技巧参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解演练冲关2已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.考点三极坐标方程与参数方程的综合应用典例感悟典例3(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径解(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.方法技巧解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)在参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先将其化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件演练冲关3(2017成都模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，)，其中.(1)求的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2(y2)24，xcos ，ysin ，曲线C的极坐标方程为(cos )2(sin 2)24，即4sin .由2，得sin ，.(2)由题，易知直线l的普通方程为xy40，直线l的极坐标方程为cos sin 40.又射线OA的极坐标方程为(0)，联立，得解得4.点B的极坐标为，|AB|BA|422.课时跟踪检测 1(2017石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos222sin212，且直线l与曲线C交于P，Q两点(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标；(2)在(1)的条件下，若|AP|AQ|6，求直线l的普通方程解：(1)xcos ，ysin ，C的直角坐标方程为x22y212.直线l恒过的定点为A(2,0)(2)把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得，(sin21)t24(cos )t80.由t的几何意义知|AP|t1|，|AQ|t2|.点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，t1t2，|AP|AQ|t1t2|6，6，即sin2，(0，)，sin ，cos ，直线l的斜率k，因此，直线l的方程为y(x2)或y(x2)2(2017郑州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为，半径为1的圆(1)求曲线C1的普通方程，C2的直角坐标方程；(2)设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围解：(1)消去参数可得C1的普通方程为y21.由题可知，曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3)，C2的直角坐标方程为x2(y3)21.(2)设M(2cos ，sin )，曲线C2的圆心为C2，则|MC2|.1sin 1，|MC2|min2，|MC2|max4.根据题意可得|MN|min211，|MN|max415，即|MN|的取值范围是1,53(2017合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和PAB面积的最小值解：(1)由消去参数t，得圆C的普通方程为(x5)2(y3)22.由cos，得cos sin 2，所以直线l的直角坐标方程为xy20.(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，)，B.设点P的坐标为(5cos t,3sin t)，则点P到直线l的距离为d，所以dmin2.又|AB|2，所以PAB面积的最小值是Smin224.4(2018届高三西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin ，.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，并求出点D的直角坐标解：(1)由2sin ，0,2)，可得22sin .因为2x2y2，sin y，所以曲线C的直角坐标方程为x2(y1)21.(2)由直线l的参数方程(t为参数)，消去t得直线l的普通方程为yx5.因为曲线C：x2(y1)21是以G(0,1)为圆心、1为半径的圆，(易知C，l相离)设点D(x0，y0)，且点D到直线l：yx5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l：yx5平行即直线GD与l的斜率的乘积等于1，即()1，又x(y01)21，可得x0(舍去)或x0，所以y0，即点D的直角坐标为.5(2018届高三广东五校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到曲线C2上点的距离的最小值解：(1)由曲线C1：得曲线C1的普通方程为y21.由曲线C2：sin4得，(sin cos )4，即曲线C2的直角坐标方程为xy80.(2)易知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点P(cos ，sin )到直线xy80的距离为d，其中是锐角且tan .所以当sin()1时，d取得最小值.6(2017成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是cos24sin 0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(1,0)若点M的极坐标为，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，直线l的普通方程为ytan (x1)由cos2 4sin 0得2cos2 4sin 0，即x24y0.曲线C的直角坐标方程为x24y.(2)点M的极坐标为，点M的直角坐标为(0,1)又直线l经过点M，1tan (01)，tan 1，即直线l的倾斜角.直线l的参数方程为(t为参数)代入x24y，得t26t20.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.Q为线段AB的中点，点Q对应的参数值为3.又点P(1,0)是直线l上对应t0的点，则|PQ|3.7(2017南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，aR)以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|2|PB|，求实数a的值解：(1)曲线C1的参数方程为其普通方程为xya10.曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0，2cos24cos 20，x24xx2y20，即曲线C2的直角坐标方程为y24x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由得2t22t14a0.(2)242(14a)0，即a0，由根与系数的关系得根据参数方程的几何意义可知|PA|2|t1|，|PB|2|t2|，又|PA|2|PB|，2|t1|22|t2|，即t12t2或t12t2.当t12t2时，有解得a0，符合题意当t12t2时，有解得a0，符合题意综上所述，实数a的值为或.8(2017贵阳检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时AOB的面积解：(1)由得C1的普通方程为(x4)2(y5)29.由2sin 得22sin ，将x2y22，ysin 代入上式，得C2的直角坐标方程为x2(y1)21.(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，kC1C21，则直线C1C2的方程为xy10，点O到直线C1C2的距离d，又|AB|C1C2|13444，SAOBd|AB|(44)2.第二讲 选修45不等式选讲考情分析1不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是绝对值不等式的解法以及不等式的证明，其中绝对值不等式的解法以及绝对值不等式与函数综合问题的求解是命题的热点2该部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考时应注意分类讨论思想的应用 考点一绝对值不等式的解法典例感悟典例1(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x23x40，无解；当1x1时，式化为x2x20，解得1x1；当x1时，式化为x2x40，解得1x.所以f(x)g(x)的解集为x1x.(2)当x1,1时，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,1方法技巧绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对aR，|x|aaxaxa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解演练冲关1(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解：(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，且当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.考点二不等式的证明典例感悟典例2(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x2，解得x1；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.方法技巧证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法(2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法(3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明演练冲关2(2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.考点三含绝对值不等式的恒成立问题典例感悟典例3(2017合肥质检)已知函数f(x)|xm|x3m|(m0)(1)当m1时，求不等式f(x)1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)|2t|t1|恒成立，求m的取值范围解(1)当m1时，f(x)由f(x)1，得或x3，解得x，不等式f(x)1的解集为.(2)不等式f(x)|2t|t1|对任意的实数x，t恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)(|2t|t1|)min恒成立，即f(x)max(|2t|t1|)min，f(x)|xm|x3m|(xm)(x3m)|4m，|2t|t1|(2t)(t1)|3，4m0，0m.即m的取值范围为.方法技巧已知不等式恒成立求参数范围问题的解法分离参数法运用“f(x)a恒成立f(x)maxa，f(x)a恒成立f(x)mina”可解决恒成立中的参数取值范围问题更换主元法对于一些含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维的优势，可直接解决问题演练冲关3(2017洛阳统考)已知f(x)|2x1|x1|.(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若ab1，对a，b(0，)，3f(x)恒成立，求x的取值范围解：(1)由已知，得f(x)函数f(x)的图象如图所示(2)a，b(0，)，且ab1，(ab)5529，当且仅当，即a，b时等号成立3(|2x1|x1|)恒成立，|2x1|x1|3，结合图象知1x5，x的取值范围是1,5课时跟踪检测 1(2017云南调研)已知函数f(x)|x1|mx|(其中mR)(1)当m2时，求不等式f(x)6的解集；(2)若不等式f(x)6对任意实数x恒成立，求m的取值范围解：(1)当m2时，f(x)|x1|2x|，当x2时，f(x)6可化为x1x26，解得x.综上，不等式f(x)6的解集为xx或x.(2)法一：因为|x1|mx|x1mx|m1|，由题意得|m1|6，即m16或m16，解得m5或m7，即m的取值范围是(，75，)法二：当m1时，f(x)此时，f(x)minm1，由题意知，m16，解得m5，所以m的取值范围是m5.综上所述，m的取值范围是(，75，)2(2017郑州模拟)已知a0，b0，函数f(x)|xa|xb|的最小值为4.(1)求ab的值；(2)求a2b2的最小值解：(1)因为|xa|xb|ab|，所以f(x)|ab|，当且仅当(xa)(xb)0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为ab，所以ab4.(2)由(1)知ab4，b4a，a2b2a2(4a)2a2a2，故当且仅当a，b时，a2b2取最小值为.3(2018届高三湖南五市十校联考)设函数f(x)|x1|2|xa|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)0在x2,3上恒成立，求a的取值范围解：(1)a1，f(x)1|x1|2|x1|1或或2x1或1x或x2x1的解集为.(2)f(x)0在x2,3上恒成立|x1|2|xa|0在x2,3上恒成立|2x2a|x11x2x2ax113x2ax1在x2,3上恒成立(13x)max2a(x1)min52a4a2.故a的取值范围为.4(2017宝鸡质检)已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若对任意x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解：(1)由|x1|2|5得5|x1|25，所以7|x1|3，解得2x4，则不等式|g(x)|5的解集为x|2x4(2)因为对任意x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x)，又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为a|a1或a55(2018届高三湘中名校联考)已知函数f(x)|x2|2xa|，aR.(1)当a1时，解不等式f(x)5；(2)若存在x0满足f(x0)|x02|3，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)|x2|2x1|.由f(x)5得|x2|2x1|5.当x2时，不等式等价于x22x15，解得x2，所以x2；当x2时，不等式等价于2x2x15，即x2，所以解集为空集；当x时，不等式等价于2x2x15，解得x，所以x.故原不等式的解集为.(2)f(x)|x2|2|x2|2xa|2x4|2xa|2xa(2x4)|a4|，原命题等价于(f(x)|x2|)min3，即|a4|3，7a1.即实数a的取值范围为(7，1)6已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示从图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2，即a.从而a的取值范围是.7(2017贵阳检测)已知|x2|6x|k恒成立(1)求实数k的最大值；(2)若实数k的最大值为n，正数a，b满足n.求7a4b的最小值解：(1)因为|x2|6x|k恒成立，设g(x)|x2|6x|，则g(x)mink.又|x2|6x|(x2)(6x)|8，当且仅当2x6时，g(x)min8，所以k8，即实数k的最大值为8.(2)由(1)知，n8，所以8，即4，又a，b均为正数，所以7a4b(7a4b)(54)，当且仅当，即a5b时，等号成立，所以7a4b的最小值是.8设a，b，cR，且abc1.求证：(1)2abbcca；(2)2.证明：(1)因为1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，当且仅当ab时等号成立所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因为，所以abc2a2b2c2，当且仅当abc时等号成立.- 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