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1.6三角函数模型的简单应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案三角函数模型梳理(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤第一步：阅读理解，审清题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题第二步：收集、整理数据，建立数学模型根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答第四步：将所得结论转译成实际问题的答案(2)三角函数模型的建立程序如图所示：类型一三角函数模型在物理中的应用例1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S6sin.(1)画出它的图象；(2)回答以下问题：小球开始摆动(即t0)，离开平衡位置是多少？小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？小球来回摆动一次需要多少时间？考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用解(1)周期T1(s)列表：t012t226sin360603描点画图：(2)小球开始摆动(即t0)，离开平衡位置为3 cm.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.小球来回摆动一次需要1 s(即周期)反思与感悟此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径跟踪训练1如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是()A该质点的振动周期为0.7 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案D解析由图象及简谐运动的有关知识知T0.8 s，A5 cm，当t0.1 s及t0.5 s时，v0，故排除选项A，B，C.类型二三角函数模型在生活中的应用例2如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？考点三角函数模型的应用题点三角函数在日常生活中的应用解(1)由已知可设y40.540cos t，t0，由周期为12分钟可知，当t6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6，即，所以y40.540cos t(t0)(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米由60.540.540cos t0，得cos t0，所以t0或t0，解得t04或t08，所以t8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12820(分钟)反思与感悟解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案跟踪训练2如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.考点三角函数模型的应用题点三角函数在日常生活中的应用解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处这时此人所转过的角为 t t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h10sin t12(t0)(2)由10sint1217，得sint，则25t125.故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.1弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的()A频率为1.5 Hz B周期为1.5 sC周期为6 s D频率为6 Hz考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案B解析振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T1.5 s.2电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I5sin，则当t s时，电流强度I为()A5 A B2.5 A C2 A D5 A考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案B解析当t时，I5sin5sin5cos 2.5(A)3一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l_ cm.考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案解析T1， 2，l.4下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天024时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为_考点三角函数模型的应用题点三角函数在航海、气象学中的应用答案h6sin t，t0,24解析根据题图设hAsin(t)，则A6，T12，12，.点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，60，h6sin6sin t，t0,245某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)102sin，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？考点三角函数模型的应用题点三角函数在日常生活中的应用解(1)因为f(t)102sin，又0t24，所以t11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，因此t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温解三角函数应用问题的基本步骤一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s6sin，那么单摆来回摆一次所需的时间为()A. s B. s C50 s D100 s考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案A2如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6 C8 D10考点三角函数模型的应用题点三角函数在航海、气象学中的应用答案C解析由题干图易得ymink32，则k5.ymaxk38.3弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s2sin.给出下列三种说法：小球开始时在平衡位置上方 cm处；小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处；经过2 s小球重复振动一次其中正确的说法是()A B C D考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案D解析当t0时，s2sin，故正确；smin2，故正确；函数的最小正周期T2，故正确4如图所示为2018年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数yAsin(x)b的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为()A16 B15 C14 D13 考点三角函数模型的应用题点三角函数在航海、气象学中的应用答案D解析由题意得A(3010)10，b(3010)20，2(146)16，16，y10sin20，将x6，y10代入得10sin2010，即sin1，由于时，BON，hOABN3030sin，当00.已知小球在初始位置(即t0)时，且每经过 s小球回到初始位置，那么A_；关于t的函数解析式是_考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案sin，t0，)解析当t0时，Asin，A.又周期T，解得2.故所求的函数解析式是sin，t0，)三、解答题12.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？考点三角函数模型的应用题点三角函数在日常生活中的应用解(1)如图所示建立平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角OP每秒钟内所转过的角为，则OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z4sin2.当t0时，z0，得sin ，即.故所求的函数关系式为z4sin2.(2)令z4sin26，得sin1，令t，得t20，故点P第一次到达最高点大约需要20 s.13(2017广东汕头金山中学高一月考)据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)Asin(x)B，x为月份已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元(1)求f(x)的解析式；(2)求此商品的价格超过8万元的月份考点三角函数模型的应用题点三角函数在日常生活中的应用解(1)由题意可知734，T8，.又即f(x)2sin7.(*)又f(x)过点(3,9)，代入(*)式得2sin79，sin1，2k，kZ.又|8，sin，2kx2k，kZ，可得8kx8k，kZ.又1x12，xN*，x2,3,4,10,11,12.即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元四、探究与拓展14有一冲击波，其波形为函数ysin的图象，若其在区间0，t上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是()A5 B6 C7 D8考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案C15(2017福建龙岩一中高一月考)某海滨浴场一天的海浪高度y(m)是时间t(0t24)(h)的函数，记作yf(t)，下表是某天各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系；(2)依据规定，当海浪高度不少于1 m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的8 h至20 h之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？考点三角函数模型的应用题点三角函数在航海、气象学中的应用解(1)以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：依据散点图，可以选用函数yAsin(t)h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系从表中数据和散点图，可知A，T12，所以12，得.又h1，于是ysin1.由图，知02k，kZ，又|，所以，从而ysin1，即ycos t1(0t24)(2)由题意，可知y1，所以cos t11，即cos t0，所以2kt2k(kZ)，即12k3t12k3(kZ)又0t24，所以0t3或9t15或21t24.故一天内的8 h至20 h之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即9 h至15 h17
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