（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 高考热点追踪（二）学案 文 苏教版

高考热点追踪(二)三角函数与平面向量交汇集中展示当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性向量具有代数与几何形式的双重身份，它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势，以下几例重在为备考中的考生揭示题型规律，与同学们共同归纳与探究解题策略一、三角与平面向量模交汇 已知向量a(sin ，1)，b(1，cos )，求|ab|的最大值【解】|ab| ，当sin1时|ab|有最大值，此时，最大值为1名师点评本题求|ab|的最大值利用了向量模的定义，也可以用平方法，同学们可以尝试二、三角与平面向量线性运算交汇 (2019南京模拟)设两个向量a(2，2cos2)和b，其中，m，为实数若a2b，求的取值范围【解】由a(2，2cos2)和b，a2b，可得设k，代入方程组可得消去m，化简得cos22sin ，再化简得cos22sin 0，再令t代入上式得(sin 1)2(16t218t2)0可得(16t218t2)0，解不等式得t，因而1解得6k1，即61名师点评本题字母比较多，运算复杂，要认真体会换元法和整体思想的运用三、三角与平面向量平行交汇 已知a(cos x，2)，b(2sin x，3)，若ab，则sin 2x2cos2x_ 【解析】因为a(cos x，2)，b(2sin x，3)，ab，所以3cos x4sin x0，即tan x所以sin 2x2cos2x【答案】名师点评本题主要考查了向量共线的条件、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本知识四、三角与平面向量垂直交汇 (2019苏州模拟)已知向量a(sin ，)，b(1，cos )，若ab，则_【解析】由ab得ab0，所以absin cos 0，即2sin0因为，所以【答案】名师点评本题利用向量垂直的性质，得到三角函数式，最终求解得到答案五、三角与平面向量夹角交汇 设a(1cos ，sin )，b(1cos ， sin )，c(1，0)，(0，)，(，2)，a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，且12，求sin的值【解】因为|a|2cos，|b|2sin，|c|1，又ac1cos 2cos2，bc1cos 2sin2所以cos 1cos，cos 2sin，因为，所以1又(，2)，所以，即0由cos 2sincos，得2由12，得，所以，所以sinsin名师点评本题以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数求值变换的有关知识六、三角与平面向量数量积交汇 (2019南通市高三第一次调研测试)在ABC中，若2，则的值为_【解析】由2，得2bcacab，化简可得ac由正弦定理得【答案】名师点评本题是平面向量的数量积及正、余弦定理的综合运用，解题时注意体会等价转化思想的运用七、三角与平面向量综合交汇 (2019南通调研)已知向量a，b，且x，(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab2|ab|的最小值是，求的值【解】(1)abcoscossinsincos 2x；|ab|2，因为x，所以cos x0，所以|ab|2cos x(2)由(1)知，f(x)cos 2x4cos x，即f(x)2(cos x)2122，因为x，所以0cos x1，当0时，当且仅当cos x0时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾当01时，当且仅当cos x时，f(x)取得最小值122，由已知122，解得当1时，当且仅当cos x1时，f(x)取得最小值14，由已知得14，解得，这与1相矛盾；综上所述，即为所求名师点评本题以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类讨论的思想方法解三角形常用策略大观正、余弦定理及其应用是高考的重要内容之一，常与三角函数联系在一起，以正、余弦定理为工具，通过三角恒等变换来解三角形或实际问题，以低中档题为主，下面通过一题来分析正、余弦定理在解三角形中的常用策略 在ABC中，已知AB，cosABC，AC边上的中线BD，求sin A的值策略1：设法使条件集中到一个三角形中法一：考虑到D为AC的中点取BC的中点E，把分散的条件集中转移到三角形BDE中，从而问题获得解决如图1，设E是BC的中点，连结DE，则DEAB，且DEAB，设BEx，在BDE中，由余弦定理BD2BE2ED22BEEDcosBED，即5x22x，解得x1或x(舍去)，故BC2在ABC中，由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos ABC，得AC2422，所以AC又sinABC在ABC中，由正弦定理，得，所以sin A策略2：利用向量运算或恰当建立坐标系，利用坐标法结合向量数量积求解法二：以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立如图2所示的直角坐标系且不妨设点A在第一象限内，因为cosABC，所以sinABC，所以A，设C(x，0)，所以D又因为BD，所以 ，解得x2以下同法一法三：如图2因为()，所以2，平方得42222，代入数据得20|22|，解得BC2以下同法一策略3: 把相关的边或角算两次，构造方程组求解法四：如图3设BCy，AC2x在ABC中，由余弦定理得cos A，又在ABD中，由余弦定理得cos A联立得，2x2y2在ABC中，由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos ABC，整理得4x2y2y联立消去x解得y2或y(舍去)所以x，AC2x以下同法一策略4：利用不同三角形中角的互补或互余关系，构造方程组求解法五： 在ABD和BDC中利用ADB和BDC互补关系，利用余弦定理构造等量关系解题如图3，设BCy，AC2x在ABD中，由余弦定理得cosADB，又在BDC中，由余弦定理得cosBDC因为ADBBDC，所以cosADBcosBDC0，联立得，2x2y2在ABC中，由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos ABC，整理得4x2y2y联立消去x解得y2或y(舍去)所以x，AC2x以下同法一策略5：利用中点等几何关系，把三角形补成平行四边形，进而使条件相对集中，从而使问题解决法六：如图4，延长BD至E，使BDDE，连结AE，CE，则四边形ABCE是平行四边形，故有AEBC在ABE中，由余弦定理BE2AB2AE22ABAEcosBAE，即20BC22BC，解得BC2以下同法一策略6：利用等面积法，构造方程求解法七：如图5设CBD，因为cos CBA，所以sin CBA又因为SABC2SBDC，所以有ABBCsin ABC2BDBCsin ，解得sin ，cos 所以cosABDcos(ABC)cosABCcos sinABCsin ，所以sinABD在ABD中，由余弦定理AD2AB2BD22ABBDcosABD，所以AD在ABD中，由正弦定理，得sin A名师点评同一道题目，从不同的角度出发，就有许多不同的解题方法，所以同学们复习时不要满足于一种思考方式，要善于发现自己解题中存在的问题和不合理处，进而提出质疑“我为什么要这样解题呢？”“是不是还有更好的方法呢？”“除了从这个角度出发外，还能从哪里找到突破口呢？” 只有不断地质疑，才会不断地创新，不断地迸发思维的火花，这样复习效率就会大大提高1(2019南京、盐城高三模拟)在ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a5，A，cos B，则c_解析 根据题意得，sin B，所以sin Csin(AB)sin，由，得，解得c7答案 72若，则tan 2_解析 ，所以tan 2，所以tan 2答案 3(2019江苏省高考命题研究专家原创卷(七)已知向量a(2，1)，b(3，1)，若a2kb与3ab平行，则k_解析 因为a(2，1)，b(3，1)，所以a2kb(2，1)2k(3，1)(26k，12k)，3ab3(2，1)(3，1)(3，4)，又a2kb与3ab平行，所以4(26k)3(12k)0，解得k答案 4(2019扬州模拟)已知cos ，cos()，且，则cos()的值为_解析 因为，所以2(0，)因为cos ，所以cos 22cos21，所以sin 2，而，所以(0，)，所以sin()，所以cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()答案 5(2019盐城高三模拟)已知向量a，b满足a(4，3)，|b|1，|ab|，则向量a，b的夹角为_解析 法一：设向量b(x，y)，则由|b|1，|ab|得，4x3y，所以ab(4，3)(x，y)4x3y，cosa，b，又a，b0，所以向量a，b的夹角为法二：由|ab|得，(ab)221a22abb221，所以ab，cosa，b，又a，b0，所以向量a，b的夹角为答案 6(2019南京高三模拟)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2若3，则_解析 由题意可得，则3，则|2|23，即683，解得答案 7函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则将yf(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为_解析 由所给图象知A1，T，T，所以2，由sin1，|0)，线段MP，NQ，MN部分镶嵌的金丝每毫米造价为2a元记锐角POG，镶嵌金丝总造价为W元(1)试表示出关于的函数W()，并写出cos 的范围；(2)当M，N位于什么位置时，镶嵌金丝的总造价最低？解 (1)如图，过点P作OG的垂线，垂足为R，过点M作PR的垂线，垂足为S，由圆O与矩形的边FB，BC，CE相切，得圆O半径为16易得PR16sin ，OR16cos ，MSGROGORCECD16cos 361616cos 2016cos ，因为MP与圆O相切，切点为P，所以OPMP，易得MPSPOG，所以MPNQ，PS，所以MGSRPRPS16sin ，MN2MG2因为优弧的圆心角为(22)，所以优弧的长为32()，所以W()32()3a2a96a()2a48a(22)，考虑临界状态，当M，N，G三点重合时，POG为直角三角形，其中GPO，OG20，OP16，cos ，所以cos (2)由(1)知，W()48a48a48a48a48a，(0，)，其中0，cos 0，令W()0，得cos 或cos 1(舍)，又cos 且为锐角，所以，所以当时，W()0，W()单调递增所以当时，总造价W()取得最小值，为W64a48a，此时，MGNG4答：(1)W()48a(22)，cos ；(2)当MGNG4毫米时，能使总造价最低- 16 -