（江苏专版）2019版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第28讲 平面向量基本定理及坐标运算学案 理

第28讲平面向量基本定理及坐标运算考试要求1.平面向量的基本定理及其意义(A级要求)；2.平面向量的正交分解及其坐标表示(B级要求)；3.用坐标表示平面向量的线性运算及平面向量共线的条件(B级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()解析(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若b(0，0)，则无意义.答案(1)(2)(3)(4)2.(2017苏州期末)已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab_.解析2ab2(2，4)(1，1)(3，9).答案(3，9)3.(2015江苏卷)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.解析由题意得解得故mn253.答案34.(2017山东卷)已知向量a(2，6)，b(1，)，若ab，则_.解析由ab可得162，故3.答案35.(必修4P82习题6改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_.解析设D(x，y)，则由，得(4，1)(5x，6y)，即解得答案(1，5)知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及运算的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.考点一平面向量基本定理【例1】 (1)(2018南通调研)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.(2)(2017苏北四市摸底)在ABC中，AB2，AC3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若xy(x，yR)，则xy的值为_.解析(1)设k，kR.因为kk()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.(2)如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，CE为AB边的中线，且ADCEO.在AEO中，由正弦定理得.在ACO中，由正弦定理得，两式相除得 .因为AEAB1，AC3，所以.所以3，即3()，即43，所以4，从而.因为xy，所以x，y，于是xy.答案(1)(2)规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)(2018南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若(，R)，则_.(2)如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_.解析(1)由题意可得，由平面向量基本定理可得，所以.(2)()ab.答案(1)(2)ab考点二平面向量的坐标运算与向量共线的坐标表示【例2】 (1)(2018苏州暑假测试)设x，yR，向量a(x，1)，b(2，y)，且a2b(5，3)，则xy_.(2)(2018南京学情调研)已知向量a(1，2)，b(m，4)，且a(2ab)，则实数m的值为_.解析(1)由题意得a2b(x4，12y)(5，3)，所以解得所以xy1.(2)由题意得a(1，2)，2ab(2m，8)，因为a(2ab)，所以18(2m)20，故m2.答案(1)1(2)2规律方法(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】 (1)已知点A(1，5)和向量a(2，3)，若3a，则点B的坐标为_.(2)已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.解析(1)设点B的坐标为(x，y)，则(x1，y5).由3a，得解得B(5，14).(2)由a(1，2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)0，即m4.从而b(2，4)，那么2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8).答案(1)(5，14)(2)(4，8)考点三平面向量基本定理及向量共线定理的应用(多维探究)命题角度1求坐标【例31】 若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_.解析由已知，(a1，3)，(3，4)，根据题意，4(a1)3(3)0，即4a5，a.答案命题角度2解析法【例32】 (2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_.解析如图 ，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则由|1得A(1，0).由tan 7得sin ，cos .又|，C(|cos ，|sin )，即C.又BOC45，cosAOBcos(45)cos cos 45sin sin 45，同理，sinAOB，又|1，B，故由mn得解得故mn3.答案3命题角度3求范围(最值)【例33】 (1)(2018常州一模)在ABC中，C45，O是ABC的外心，若mn(m，nR)，则mn的取值范围是_.(2)(2017常州期末)如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点P在边BC上，且满足mn(m，n均为正实数)，则的最小值为_.解析(1)在ABC中，C45，所以AOB90(圆心角是同弧所对的圆周角的2倍).建立如图所示的平面直角坐标系，设A(r，0)，B(0，r)，C(rcos ，rsin )，其中r0，900)，所以16m12n16，即mn1，那么2.当且仅当3n24m2时取等号.答案(1)，1)(2)规律方法1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式.2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2x2y10.【训练3】 (1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.(2)(必修4P82习题6)已知A(2，3)，B(4，3)，点P在线段AB的延长线上，且APBP，则点P的坐标为_.(3) 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动.若xy，其中x，yR，则xy的最大值为_.解析(1)如图，取单位向量i，j，则ai2j，b2ij，c3i4j.cxaybx(i2j)y(2ij)(x2y)i(2xy)j，xy.(2)设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，则，得(x2，y3)(x4，y3)，即解得所以点P的坐标为(8，15).(3)以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B，设AOC()，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.答案(1)(2)(8，15)(3)2一、必做题1.(2016全国卷)已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析因为ab，所以由(2)m430，解得m6.答案62.(2018南京学情调研)设向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b.若ac，则实数x的值是_.解析因为a(1，4)，b(1，x)，ca3b(2，43x).又ac，所以43x80，解得x4.答案43.(2017无锡期末)已知在ABCD中，(2，8)，(3，4)，则_.解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以(1，12).答案(1，12)4.(2015全国卷改编)已知点A(0，1)，B(3，2)，(4，3)，则_.解析根据题意得(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4).答案(7，4)5.(2018南通调研)如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2 ，则x_，y_.解析由题意知，又，所以()，所以x，y.答案6.(2018苏、锡、常、镇四市调研)已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且2，则_(用，表示).解析如图，2，().答案7.(2018江苏押题卷)如图，在ABC中，AHBC于H，MAH，AMAH，若xy，则xy的值为_.解析建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，H(0，0)，C(c，0)，M，则，(b，a)，(c，a)，故由xy可得aaxy(a)，即xy.答案8.(2017苏北四市期末)已知向量a(1，2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个).解析由题意得ab(2，2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6，反之亦成立，则“m6”是“a(ab)”的充要条件.答案充要9.(2018江苏大联考)A，B，C为单位圆上三个不同的点，若ABC，mn(m，nR)，则mn最小值为_.解析因为ABC，所以AOC(圆周角是同弧所对圆心角的一半)，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(cos ，sin )，则cos m，sin nmncos sin sin，当且仅当时取等号.答案10.(2018扬州中学质检)在矩形ABCD中，AB，BC，P为矩形内一点， 且AP，(，R)，则的最大值为_.解析以矩形相邻两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(，0)，D(0，)，设PAB，则P.因为，所以(，0)(0，)，所以cos ，sin ，故cos sin sin，由已知得0，所以，所以sin1，所以的最大值为.答案二、选做题11.(2017哈师大附中三模改编)已知ABAC，ABAC，点M满足t(1t)，若BAM，则t的值为_.解析由题意可得tt，则tt，即tt，其中，由正弦定理，整理可得t的值为.答案12.(2017全国卷改编)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为_.解析如图所示，建立平面直角坐标系.设A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x，y)，根据等面积公式可得圆的半径r，即圆C的方程是(x2)2y2，(x，y1)，(0，1)，(2，0)，若满足(2，)，又点P在圆C上，P点坐标可表示为x2cos 2，ysin 1，1sin 1cos 2sin()3(其中tan ).答案313