（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题四 概率与统计 第3讲 概率、统计与统计案例的交汇问题学案 文 新人教A版

第3讲概率、统计与统计案例的交汇问题 做真题1(2018高考全国卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位： m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0，01)0.1，02)0.2，03)0.3，04)0.4，05)0.5，06)0.6，07)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0，01)0.1，02)0.2，03)0.3，04)0.4，05)0.5，06)频数151310165(1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解：(1)(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.20.110.12.60.120.050.48.因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.480.35)36547.45(m3)2(2017高考全国卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较附：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828，K2.解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法明考情高考对该部分内容的考查主要以解答题的形式呈现，试题难度中等，主要考查概率、概率分布直方图、茎叶图、数字特征、回归分析上独立性检验的变化概率与频率分布直方图、茎叶图等图例的交汇(交汇型) 典型例题 (2019福建五校第二次联考)某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数；(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率；(3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01)【解】(1)由题意知，网店销售量不低于50的共有(0.0680.0460.0100.008)510066(天)，实体店销售量不低于50的共有(0.0320.0200.0122)510038(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为1000.2424，故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66382480.(2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x1 700)元，50x1 700800x50.设该实体店一天获利不低于800元为事件A，则P(A)P(x50)(0.0320.0200.0120.012)50.38.故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.(3)因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的频率分布直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，所以网店销售量的中位数的估计值为50552.35.统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏”破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是会观图读数据，能从频率分布直方图中读出频率，进而求出频数；二是能根据分层抽样的抽样比或各层之间的比例，求出分层抽样中各层需抽取的个数；三是会转化，会对开放性问题进行转化 对点训练(2019唐山市摸底考试)某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在223，228内(单位：mm)的零件为一等品，其余为二等品在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示：(1)分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数；(2)已知甲工艺每天可生产300个零件，乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个，视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高？解：(1) 甲(217218222225226227228231233234)226.1；乙(218219221224224225226228230232)224.7.(2)由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的零件为一等品的概率为，二等品的概率为，故采用甲工艺生产该零件每天获得的利润为w甲30030300207 200(元)；应用乙工艺生产的零件为一等品、二等品的概率均为，故采用乙工艺生产该零件每天获得的利润为w乙28030280207 000(元)因为w甲w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天获得的利润更高概率与图表、独立性检验的交汇(交汇型) 典型例题 某工厂有两台不同的机器A和B，生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在90，100)内的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩在80，90)内的产品，质量等级为良好；鉴定成绩在60，80)内的产品，质量等级为合格将频率视为概率(1)完成下列22列联表，以产品质量等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上(含良好)与生产产品的机器有关；A机器生产的产品B机器生产的产品总计良好以上(含良好)合格总计(2)已知质量等级为优秀的产品的售价为12元/件，质量等级为良好的产品的售价为10元/件，质量等级为合格的产品的售价为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元该工厂决定，按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则保留原来的两台机器，你认为该工厂会怎么做？附：K2，P(K2k)0.250.150.100.050.010k1.3232.0722.7063.8416.635【解】(1)完成22列联表如下A机器生产的产品B机器生产的产品总计良好以上(含良好)61218合格14822总计202040结合列联表中的数据，可得K2的观测值k3.6365，所以该工厂应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器破解直方图、茎叶图、独立性检验相交汇的开放性问题的关键是会利用直方图、茎叶图得到相关的数据，充分利用22列联表准确地计算出K2的观测值k，并将K2的观测值k0与临界值进行比较，进而作出统计推断对于开放性问题要会转化，如本题第(2)小题，把所求问题转化为比较两台机器每生产10万件产品所获利润的大小，即可得出结论 对点训练某种常见疾病可分为，两种类型为了了解所患该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄(单位：岁)(以下简称初次患病年龄)的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其所患疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据初次患病年龄甲地型疾病患者/人甲地型疾病患者/人乙地型疾病患者/人乙地型疾病患者/人10，20)815120，30)433130，40)352440，50)384450，60)392660，7021117(1)从型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；(2)记“初次患病年龄在10，40)内的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在40，70内的患者”为“高龄患者”根据表中数据，解决以下问题(i)将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与所患疾病的类型有关联的可能性更大(直接写出结论，不必说明理由)表一 疾病类型患者所在地域型型总计甲地乙地总计100表二 疾病类型初次患病年龄型型总计低龄高龄总计100(ii)记(i)中与所患疾病的类型有关联的可能性更大的变量为X.问：是否有99.9%的把握认为所患疾病的类型与X有关？附：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解：(1)依题意，甲、乙两地区型疾病患者共40人，甲、乙两地区型疾病患者初次患病年龄小于40岁的人数分别为15，10，则从型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率的估计值为.(2)(i)填写结果如下表一 疾病类型患者所在地域 型型总计甲地233760乙地172340总计4060100表二 疾病类型初次患病年龄 型型总计低龄251540高龄154560总计4060100“初次患病年龄”与所患疾病的类型有关联的可能性更大(ii)由(i)可知X为初次患病年龄，根据表二中的数据可得a25，b15，c15，d45，n100，则K2的观测值k14.063，1406310.828，故有99.9%的把握认为所患疾病类型与初次患病年龄有关图表与回归分析的交汇(交汇型) 典型例题 某商店为迎接端午节，推出花生粽与肉粽两款粽子为调查这两款粽子的受欢迎程度，店员连续10天记录了这两款粽子的销售量，用1，2，10分别表示第1，2，10天，记录结果得到频数分布表如下所示(其中销售量单位：个)序号销售量类型12345678910花生粽1039398931068687849199肉粽8897989510198103106102112(1)根据表中数据完成如图所示的茎叶图；(2)根据统计学知识，请判断哪款粽子更受欢迎；(3)求肉粽销售量y关于序号t的线性回归方程，并预估第15天肉粽的销售量(回归方程的系数精确到0.01)参考数据： (ti)(yi)156.参考公式：回归方程t中斜率和截距的最小二乘估计分别为，t.【解】(1)根据所给数据完成茎叶图如图所示(2)法一：由(1)中茎叶图可知，肉粽的销售量均值比花生粽高，两款粽子的销售量波动情况相当，所以可以认为肉粽更受欢迎法二：由题意得花生粽的销售量的均值95(823211981144)94，肉粽的销售量的均值100(123251236212)100.因为94100，所以，即肉粽的销售量的均值较花生粽高，所以可以认为肉粽更受欢迎(3)由题中数据可得， (ti)2(9272523212)2，所以1.89，1001.8989.61.故肉粽销售量y关于序号t的线性回归方程为1.89t89.61.当t15时，1.891589.61118，所以预估第15天肉粽的销售量为118个破解此类频数分布表、茎叶图、线性回归相交汇的开放性问题的关键：一是会制图，即会根据频数分布表，把两组数据填入茎叶图中；二是会对开放性问题进行转化，如本题，把判断哪款粽子更受欢迎，转化为判断哪款粽子的销售量均值更高；三是熟练掌握求线性回归方程的步骤，求出，即可写出线性回归方程 对点训练(2019福州市第一学期抽测)随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多每年春暖以后至寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫已知一只药用昆虫的产卵数y(单位：个)与一定范围内的温度x(单位：)有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：日期2日7日15日22日30日温度x/101113128产卵数y/个2325302616(1)从这5天中任选2天，记这2天药用昆虫的产卵数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率(2)科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y关于x的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验若选取的是3月2日与30日这2组的数据，请根据3月7日、15日和22日这3组的数据，求出y关于x的线性回归方程；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.解：(1)依题意得，m，n的所有情况有23，25，23，30，23，26，23，16，25，30，25，26，25，16，30，26，30，16，26，16，共10个设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的所有情况有25，30，25，26，30，26，共3个，所以P(A)，故事件“m，n均不小于25”的概率为.(2)由已知数据得12，27， (xi)(yi)5， (xi)22，所以，yx27123.所以y关于x的线性回归方程为x3.由知，y关于x的线性回归方程为x3.当x10时，10322，|2223|2，当x8时，8317，|1716|6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关3(2019湖南省湘东六校联考)某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi，yi)(i1，2，6)，如表所示：试销单价x/元456789产品销量y/件q8483807568已知yi80.(1)求q的值；(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(元)的线性回归方程x；(3)用i表示用正确的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值，当|iyi|1时，将销售数据(xi，yi)称为一个“好数据”，现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率参考公式：，.解：(1)由yi80，得80，解得q90.(2)经计算，xiyi3 050，6.5，x271，所以4，8046.5106，所以所求的线性回归方程为4x106.(3)由(2)知，当x14时，190；当x25时，286；当x36时，382；当x47时，478；当x58时，574；当x69时，670.与销售数据对比可知满足|iyi|1(i1，2，6)的共有3个：(4，90)，(6，83)，(8，75)从6个销售数据中任取2个的所有可能结果有15种，其中2个销售数据中至少有一个是“好数据”的结果有12种，于是抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率为.4(2019贵阳市高一学期监测)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：1日2日3日4日5日外卖甲日接单x/百单529811外卖乙日接单y/百单2310515(1)试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断(若|r|0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001)；经计算求得y与x之间的回归方程为1.382x2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x值精确到0.01)相关公式：r.参考数据： (xi)(yi)66，77.解：(1)由题可知7(百单)，7(百单)外卖甲的日接单量的方差s10，外卖乙的日接单量的方差s23.6，因为xy，s0.75，所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系令y25，得1.382x2.67425，解得x20.02，又20.0210036 006，所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元- 18 -