（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题八 数学文化及数学思想 第1讲 数学文化学案 文 新人教A版

第1讲数学文化渗透数学的美 典型例题 (1)(2019高考全国卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是()A165 cmB175 cmC185 cm D190 cm(2)(2019高考全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_【解析】(1)不妨设此人咽喉至肚脐的长度为x cm，则0.618，得x42，故此人身高大约为2642105173(cm)，考虑误差，结合选项，可知选B.(2)依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成，因此题中的半正多面体共有26个面注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则xxx1，解得x1，故题中的半正多面体的棱长为1.【答案】(1)B(2)261数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美纵观数学领域的一切公式、公理和定理，无不是对客观世界存在的秩序、对称、和谐、统一的美的反映 对点训练太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A. B.C. D.解析：选B.函数y3sinx的图象与x轴相交于点(6，0)和点(6，0)，则大圆的半径为6，面积为36，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2，所以所求的概率是，故选B.渗透古代名家(学派)的研究 典型例题 (1)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类如图中实心点的个数5，9，14，20，为梯形数根据图形的构成，记此数列的第2 017项为a2 017，则a2 0175()A2 0232 017B2 0232 016C1 0082 023 D2 0171 008(2)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6_【解析】(1)观察梯形数的前几项，得523a1，9234a2，142345a3，an23(n2)(n1)(n4)，由此可得a2 0172 0182 0211 0092 021.所以a2 0175(1 0081)(2 0232)51 0082 023.(2)由题意，得S6611sin 60.【答案】(1)C(2)本例(1)以古希腊毕达哥拉斯学派的研究故事为背景，本例(2)以我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”为命题背景，分别考查了数列问题和圆内接正六边形的面积问题其中毕达哥拉斯学派的“形数”问题，备受命题者的青睐，已成为高考命题的热点问题对点训练1(2019长沙市统一模拟考试)我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”“幂”是面积，“势”是高，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所载，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等已知某不规则几何体与如图所示三视图对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A8 B8C8 D4解析：选B.题中三视图对应的几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为2的半圆柱后剩余的部分，三视图对应的几何体的体积V231228，由祖暅原理得不规则几何体的体积为8，故选B.2(2019江西七校第一次联考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，则a2 017a2 019a等于()A1 B1C2 017 D2 017解析：选A.因为a1a3a1211，a2a4a13221，a3a5a25321，a4a6a38521，由此可知anan2a(1)n1，所以a2 017a2 019a(1)2 01711，故选A.渗透古代数学名著典型例题 (1)(2019湖南省五市十校联考)算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入a的值为4，则输出的m的值为()A19B35C67 D131(2)数书九章中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与著名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”把以上这段文字用数学公式表示，即S(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)现有周长为42的ABC满足sin Asin Bsin C(1)(1)，试用上面给出的数学公式计算ABC的面积为()A. B2C. D2【解析】(1)由题意，执行程序框图，可得a4，m5，i1，m7，满足条件i4，执行循环体，i2，m11，满足条件i4，执行循环体，i3，m19，满足条件i4，执行循环体，i4，m35，满足条件i4，执行循环体，i5，m67，此时，不满足条件i4，退出循环体，输出m的值为67，故选C.(2)因为sin Asin Bsin C(1)(1)，则由正弦定理得abc(1)(1)设a(1)x，bx，c(1)x，又周长为42，所以42(1)xx(1)x，解得x2.所以S.故选A.【答案】(1)C(2)A中国古代数学取得了极其辉煌的成就，出现了刘徽、祖冲之等伟大的数学家，以及九章算术等经典的数学传世之作，这些中国古代数学名著是我们的丰富宝库，继新课程改革以来，高考题中出现了一些以古代名著为命题背景的试题，涉及的有九章算术、数书九章、算法统宗等从某种意义上讲，这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身 对点训练1九章算术中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V底面圆的周长的平方高，由此可推得圆周率的取值为()A3B3.1C3.14 D3.2解析：选A.设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式得，体积为Vr2h.由题意知V(2r)2h，所以r2h(2r)2h，解得3.故选A.2周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，如图所示，若图中直角三角形两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为49，则cos()的值为()A. B.C. D0解析：选A.设大正方形的边长为1，由小正方形与大正方形的面积之比为49，可得小正方形的边长为，则cos sin ，sin cos .由题意可得，所以cos sin ，sin cos .，可得cos sin sin cos cos cos sin sin sin2cos2cos()1cos()，所以cos().故选A.一、选择题1我国古代数学著作九章算术中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣()A104人B108人C112人 D120人解析：选B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300300108.故选B.2如图，半径为1的圆形古币内有一阴影区域，在圆内随机撒一大把豆子，共n颗，其中，落在阴影区域内的豆子共m颗，则阴影区域的面积约为()A. B.C. D.解析：选C.设阴影区域的面积为S，由几何概型概率计算公式可得，所以S，故选C.3将元代著名数学家朱世杰的四元玉鉴中的一首诗改编如下：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表示如图，用x表示壶中原有酒的量，可知最终输出的x0，则一开始输入的x的值为()A. B.C4 D.解析：选D.这是一道函数与程序框图相结合的题，当i1时，酒量为2x1；当i2时，酒量为2(2x1)14x3；当i3时，酒量为2(4x3)18x7；当i4时，酒量为0，即2(4x3)10，解得x.故选D.4大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第20项为()A180 B200C128 D162解析：选B.根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列可得从第11项到20项为60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此数列第20项为200.5中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了()A96里 B48里C72里 D24里解析：选A.根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为的等比数列设第一天走a1里，则第二天走a2a1(里)易知378，则a1192.则第二天至少走96里故选A.6远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是()A336 B510C1 326 D3 603解析：选B.由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为173372276510.7.汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”(如图)，四个全等的直角三角形(朱实)，可以围成一个大的正方形，中空部分为一个小正方形(黄实)若直角三角形中一条较长的直角边长为8，直角三角形的面积为24，若在上面扔一颗玻璃小球，则小球落在“黄实”区域的概率为()A. B.C. D.解析：选C.因为直角三角形中一条较长的直角边长为8，直角三角形的面积为24，所以可得另外一条直角边长为6，所以小正方形的边长为862，则“黄实”区域的面积为224，因为大正方形的面积为8262100，所以小球落在“黄实”区域的概率为，故选C.8九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积(弦矢矢矢)弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cosAOB()A. B.C. D.解析：选D.如图，依题意AB6，设CDx(x0)，则(6xx2)，解得x1.设OAy，则(y1)29y2，解得y5.由余弦定理得cosAOB，故选D.9(2019昆明市质量检测)数列Fn：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和记数列Fn的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()AS2 019F2 0211 BS2 019F2 0212CS2 019F2 0201 DS2 019F2 0202解析：选A.根据题意有FnFn1Fn2(n3)，所以S3F1F2F31F1F2F31F3F2F31F4F31F51，S4F4S3F4F51F61，S5F5S4F5F61F71，所以S2 019F2 0211.10中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，九章算术注曰：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高乘之，六而一”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为()A. B.C39 D.解析：选B.设下底面的长为x，则下底面的宽为9x.由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V3(32x)2(2x3)(9x)x2，故当x时，体积取得最大值，最大值为.故选B.11我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形状一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸)若在某地下雨天时利用该器具接的雨水深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积参考公式：圆台的体积Vh(R2r2Rr)，其中R，r分别表示上、下底面的半径，h为高)()A2寸 B3寸C4寸 D5寸解析：选A.由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸因为所接雨水的深度为6寸，所以水面半径为(126)9(寸)，则盆中水的体积为6(629269)342(立方寸)，所以这一天该地的平均降雨量约为2(寸)，故选A.12(2019江西玉山一中期中)在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且BDCD，ABBDCD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若PBD的面积为f(x)，则函数yf(x)的图象大致是()解析：选A.如图，作PQBC于点Q，作QRBD于点R，连接PR，则PQAB，QRCD.因为PQBD，且PQQRQ，所以BD平面PQR，所以BDPR，即PR为PBD中BD边上的高设ABBDCD1，则，即PQ.又，所以QR，所以PR，所以f(x)，故选A.13杨辉三角又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元11世纪首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而1261年杨辉在详解九章算法一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图下列数表的构造思路就源于杨辉三角该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是()A2 01722 016 B2 01822 015C2 01722 015 D2 01822 016解析：选B.由题意，最后一行为第2 017行，且第1行的最后一个数为221，第2行的最后一个数为320，第3行的最后一个数为421第n行的最后一个数为(n1)2n2，则第2 017行仅有的一个数为2 01822 015，故选B.14(2019蓉城名校第一次联考)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，其中的一个成果是：设xR，则yx称为高斯函数，x表示不超过x的最大整数，如1.71，1.22，并用x表示x的非负纯小数，即xxx，若方程x1kx有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为()A. B.C. D.解析：选D.根据题意可得函数yx在x轴正半轴的图象如图所示，函数y1kx为过定点P(0，1)的直线，所以要使方程x1kx有且仅有4个实数根且k为正实数，则直线y1kx应在PA，PB之间以及恰好在PA处，所以k0，1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆如动点M与两定点A，B(5，0)的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为x2y29.下面，我们来研究与此相关的一个问题已知圆O：x2y21上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|MB|的最小值为_解析：如图，取点K(2，0)，连接OM，MK.因为|OM|1，|OA|，|OK|2，所以2.因为MOKAOM，所以MOKAOM，所以2，所以|MK|2|MA|，所以|MB|2|MA|MB|MK|，易知|MB|MK|BK|，所以|MB|2|MA|MB|MK|的最小值为|BK|的长因为B(1，1)，K(2，0)，所以|BK|.答案：- 15 -