（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线学案 文 新人教A版

第2讲椭圆、双曲线、抛物线 做真题1(2019高考全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2B3C4 D8解析：选D.依题意得，解得p8，故选D.2(2019高考全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40C. D.解析：选D.依题意知，tan 130tan(130180)tan 50，两边平方得tan250e21，e21tan250，又e1，所以e，选D.3(2016高考全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B1C. D2解析：选D.易知抛物线的焦点为F(1，0)，设P(xP，yP)，由PFx轴可得xP1，代入抛物线方程得yP2(2舍去)，把P(1，2)代入曲线y(k0)得k2.4(2019高考全国卷)已知F是双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点若|OP|OF|，则OPF的面积为()A. B.C. D.解析：选B.因为c2a2b29，所以|OP|OF|3.设点P的坐标为(x，y)，则x2y29，把x29y2代入双曲线方程得|y|，所以SOPF|OF|yP|.故选B.5(一题多解)(2018高考全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A. B2C. D2解析：选D.法一：由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为2.故选D.法二：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为2.故选D.明考情圆锥曲线的标准方程与几何性质一直是高考的命题热点，其中求解圆锥曲线的标准方程，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系是高考解答题的常考内容，离心率问题、双曲线的渐近线问题等常出现在选择题、填空题中圆锥曲线的定义及标准方程(综合型) 知识整合名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(02ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形典型例题 (1)(2019广东六校第一次联考)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为，若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()Ax2y21B.1C.1 D.1(2)(2019高考全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1【解析】(1)由题意，得双曲线的左焦点为F(c，0)由离心率e，得ca，c22a2a2b2，即ab，所以双曲线的渐近线方程为yx，则经过F和P(0，4)两点的直线的斜率k1，得c4，所以ab2，所以双曲线的方程为1，故选D.(2)设椭圆的方程为1(ab0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，所以12()2，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1.故选B.【答案】(1)D(2)B(1)圆锥曲线定义的应用已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程计算即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0) 对点训练1已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()AB1C D解析：选A.设M(x，y)，由题意知F，由抛物线的定义，可知x2p，故x，由y22p，知yp.当M时，kMF，当M时，kMF，故kMF.故选A.2在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()A.1 B.y21C.1 Dx21解析：选D.因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以ab2，又双曲线C的离心率为，所以 ，即b24a2，解得a21，b24，所以双曲线C的方程为x21，故选D.3已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2y21的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|()A1 B2C4 D.解析：选A.如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为F1PF2的平分线及PHF1Q，可知|PF1|PQ|.根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|2，即|PF2|PQ|2，从而|QF2|2.在F1QF2中，易知OH为中位线，则|OH|1.圆锥曲线的几何性质(综合型) 知识整合 椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e .(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e . 双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系典型例题 (1)P是椭圆1(ab0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PFx轴，若tanPAF，则椭圆的离心率e为()A.B.C. D.(2)(一题多解)(2019东北四市联合体模拟(一)已知矩形ABCD，AB12，BC5，则以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为_【解析】(1)如图，不妨设点P在第一象限，因为PFx轴，所以xPc，将xPc代入椭圆方程得yP，即|PF|，则tanPAF，结合b2a2c2，整理得2c2aca20，两边同时除以a2得2e2e10，解得e或e1(舍去)故选D.(2)通解：取AB的中点O为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为1(a0，b0)，则焦距2c12，所以c6，将点C(6，5)代入双曲线方程，得1，又因为a2b262，由解得a4，b2，所以双曲线的离心率e.优解：设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，则根据双曲线的性质得c6，5，所以a2b236，b25a，即a25a360，解得a4或a9(舍去)，所以双曲线的离心率e.【答案】(1)D(2)(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值(2)双曲线的渐近线的求法及用法求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得用法：(i)可得或的值(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程 对点训练1(2019福建省质量检查)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x解析：选D.设双曲线C的方程为1(a0，b0)，则由题意得c.双曲线C的渐近线方程为yx，即bxay0，所以2，又c2a2b25，所以b2，所以a1，所以双曲线C的渐近线方程为y2x，故选D.2已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是()A(，2B(1，C(1，2 D，)解析：选B.由|PF1|4|PF2|，得|PF2|ca，故ca，则e，又因为双曲线的离心率e1，所以10时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当0)的焦点，|RF|3|OF|.(1)求抛物线C的方程；(2)过点R的直线l与抛物线C相交于A，B两点，与直线y2交于点M，抛物线C在点A，B处的切线分别记为l1，l2，l1与l2交于点N，若MON是等腰三角形，求直线l的方程【解】(1)因为F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，所以点F的坐标为.因为点R(0，2)，|RF|3|OF|，所以23，解得p1.所以抛物线C的方程为x22y.(2)依题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx2(k0)，由解得所以M.由消去y并整理得，x22kx40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22k，x1x24.对y求导，得yx，则抛物线C在点A处的切线l1的方程为yy1x1(xx1)由于点A在抛物线C上，则y1，所以l1的方程为yx1x.同理可得l2的方程为yx2x.由得即点N的坐标为(k，2)所以kOMkON()1，则OMON.又MON是等腰三角形，所以|OM|ON|，即4k24，解得k2.所以直线l的方程为y2x2或y2x2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)(3)利用根与系数的关系及判别式(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解 对点训练1过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于()A.B.C. D.解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减得0，变形得，即，.所以，e.2(2019成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k12k2的值解：(1)由题意，得2b4，.又a2c2b2，所以a3，b2，c1.所以椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知A(3，0)，B(3，0)，F1(1，0)由题意得，直线F1M的方程为y2(x1)记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M.设M(x1，y1)(y10)，M(x2，y2)因为F1MF2N，所以根据对称性，得N(x2，y2)联立得，消去y，得14x227x90.由题意知x1x2，所以x1，x2，k1，k2，所以3k12k2320，即3k12k2的值为0.一、选择题1(2019高考北京卷)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2B3a24b2Ca2b D3a4b解析：选B.由题意得，所以，又a2b2c2，所以，所以4b23a2.故选B.2以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B.C2 D2解析：选D.设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，2cb1bc1，2a222，当且仅当bc1时，等号成立故选D.3若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2 B.C. D.解析：选D.由题意知x2y，则F(0，)，设P(x0，2x)，则|PF|2x，所以当x0时，|PF|min.4(2019高考天津卷)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C. 2 D.解析：选D.由题意知F(1，0)，l：x1，双曲线的渐近线方程为yx，则|AB|4|OF|4，而|AB|2，所以2，所以e，故选D.5(一题多解)(2019高考全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.解析：选A.通解：依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为y2，将圆y2与圆x2y2a2的方程相减得cxa2，即x，所以点P，Q的横坐标均为.由于PQ是圆x2y2a2的一条弦，因此a2，即a2，即a2，所以c22ab，即a2b22ab(ab)20，所以ab，因此C的离心率e，故选A.优解一：记F(c，0)连接OP，PF，则OPPF，所以SOPF|OP|PF|OF|PQ|，即acc，即c22ab，即a2b22ab(ab)20，所以ab，因此C的离心率e ，故选A.优解二：记F(c，0)依题意，PQ是以OF为直径的圆的一条弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|OF|，因此PQ是该圆与OF垂直的直径，所以FOP45，点P的横坐标为，纵坐标的绝对值为，于是有a，即e，即C的离心率为，故选A.6已知直线l：ykx2过双曲线C：1(a0，b0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，且与圆x2y28交于点M，N，若|MN|2，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1， B(1，C，) D，)解析：选C.设圆心到直线l的距离为d(d0)，因为|MN|2，所以22，即00，b0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，得|k|.所以，即，所以，即1，所以e，即双曲线的离心率e的取值范围是，)故选C.二、填空题7已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为_解析：根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，所以所以xyb212，故双曲线的方程为1.答案：18已知抛物线C：y22px(p0)的准线l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为点B，若，则p_解析：设直线AB：yx，代入y22px得：3x2(62p)x30，又因为，即M为A，B的中点，所以xB()2，即xB2，得p24p120，解得p2，p6(舍去)答案：29(2019昆明市质量检测)已知抛物线y24x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x3y110的距离为d2，则d1d2的最小值为_解析：如图，设抛物线的准线为m，焦点为F，分别过点P，F作PAm，PMl，FNl，垂足分别为A，M，N.连接PF，因为点P在抛物线上，所以|PA|PF|，所以(d1d2)min(|PF|PM|)min|FN|.点F(1，0)到直线l的距离|FN|3，所以(d1d2)min3.答案：3三、解答题10(2019长春市质量监测(二)已知椭圆C：1(ab0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2x轴，|PF2|，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AOB的面积解：(1)由题意知，离心率e，|PF2|，得a2，b1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由条件可知F1(，0)，直线l：yx，联立直线l和椭圆C的方程，得，消去y得5x28x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|y1y2|x1x2|，所以SAOB|y1y2|OF1|.11(2019高考全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解：设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.12已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x24y的焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得b，解得a2，c1.故椭圆C的标准方程为1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1(k0)由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得2k10，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.- 16 -