（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质学案 理 新人教A版

第1讲函数的图象与性质做真题题型一函数的概念及表示1(2015高考全国卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)()A3B6C9 D12解析：选C因为21，所以f(log212)216.所以f(2)f(log212)369.故选C2(2017高考全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_解析：当x0时，由f(x)f(x)(x1)(x1)2x1，得x0；当01，即2xx0，因为2xx2000，所以0时，f(x)f(x)2x2x2201，所以x.综上，x的取值范围是(，)答案：(，)题型二函数的图象及其应用1(2019高考全国卷)函数f(x)在，的图象大致为()解析：选D因为f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；因为f()0，所以排除C；因为f(1)，且sin 1cos 1，所以f(1)1，所以排除B故选D2(2019高考全国卷)函数y在6，6的图象大致为()解析：选B因为f(x)，所以f(x)f(x)，且x6，6，所以函数y为奇函数，排除C；当x0时，f(x)0恒成立，排除D；因为f(4)7.97，排除A故选B3(2016高考全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)()A0 BmC2m D4m解析：选B因为f(x)f(x)2，y1，所以函数yf(x)与y的图象都关于点(0，1)对称，所以 xi0，y i2m，故选B题型三函数的性质及应用1(2019高考全国卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)单调递减，则()Aff(2)f(2)Bff(2)f(2)Cf(2)f(2)fDf(2)f(2)f解析：选C根据函数f(x)为偶函数可知，f(log3)f(log34)f(log34)，因为02220f(2)f(log3)故选C2(2017高考全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2，2 B1，1C0，4 D1，3解析：选D因为函数f(x)在(，)单调递减，且f(1)1，所以f(1)f(1)1，由1f(x2)1，得1x21，所以1x3，故选D3(2018高考全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)，若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0C2 D50解析：选C因为f(x)是定义域为(，)的奇函数，所以f(x)f(x)，且f(0)0.因为f(1x)f(1x)，所以f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，所以f(2x)f(x)，所以f(4x)f(2x)f(x)，所以f(x)是周期函数，且一个周期为4，所以f(4)f(0)0，f(2)f(11)f(11)f(0)0，f(3)f(12)f(12)f(1)2，所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2，故选C明考情1高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题的形式考查，一般出现在第510题或第1315题的位置上，难度一般主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断2此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新型问题结合命题，难度较大函数及其表示考法全练1函数ylog2(2x4)的定义域是()A(2，3)B(2，)C(3，) D(2，3)(3，)解析：选D由题意得解得x2且x3，所以函数ylog2(2x4)的定义域为(2，3)(3，)，故选D2已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，则f(f(3)()A2 B2C3 D3解析：选B由题意得，f(2)a2b5.f(1)a1b3，联立，结合0a1，得a，b1，所以f(x)则f(3)19，f(f(3)f(9)log392，故选B3已知函数f(x)如果对任意的nN*，定义fn(x)，那么f2 019(2)的值为()A0 B1C2 D3解析：选C因为f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2 019(2)f36723(2)f3(2)2.4已知函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_解析：当x1时，f(x)2x11，因为函数f(x)的值域为R.所以当x1时，y(12a)x3a必须取遍(，1)内的所有实数，则，解得0a.答案：5已知函数f(x)则不等式x(x1)f(x1)1的解集是_解析：当x10，即x1时，f(x1)(x1)1x，不等式变为xx(x1)1，即x21，解得xR，故x(，1)当x10，即x1时，f(x1)x11x，不等式变为xx(x1)1，即x22x10，解得1x1，故x1，1综上可知，所求不等式的解集为(，1答案：(，1(1)函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数的图象及其应用典型例题命题角度一函数图象的识别 (1)(2018高考全国卷)函数f(x)的图象大致为() (2)已知定义域为0，1的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x1)的图象可能是()(3)(一题多解)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为关于x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为()【解析】(1)当x0时，因为exex0，所以此时f(x)2，故排除C，选B(2)因为f(x1)f(x1)，先将f(x)的图象沿y轴翻折，y轴左侧的图象即为f(x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f(x1)的图象，故选B(3)法一：当点P位于边BC上时，BOPx，0x，则tan x，所以BPtan x，所以AP，所以f(x)tan x，可见yf(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C当点P位于边CD上时，BOPx，x，则BPAP.当点P位于边AD上时，BOPx，x，则tan(x)tan x，所以APtan x，所以BP，所以f(x)tan x，根据函数的解析式可排除D，故选B法二：当点P位于点C时，x，此时APBPACBC1，当点P位于CD的中点时，x，此时APBP21，故可排除C，D，当点P位于点D时，x，此时APBPADBD1，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故可排除A，故选B【答案】(1)B(2)B(3)B(1)由函数解析式识别函数图象的策略(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断 命题角度二函数图象的应用 (1)已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1，1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)(2)(2019高考全国卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0，1时，f(x)x(x1)若对任意x(，m，都有f(x)，则m的取值范围是()ABC D【解析】(1)将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值，得f(x)作出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减(2)当1x0时，0x11，则f(x)f(x1)(x1)x；当1x2时，0x11，则f(x)2f(x1)2(x1)(x2)；当2x3时，0x21，则f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得f(x)由此作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知当2e01，10，所以f(x)0，可排除选项D，故选B2某地一年的气温Q(t)(单位：)与时间t(月份)之间的关系如图所示已知该年的平均气温为10 ，令C(t)表示时间段0，t的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是()解析：选A若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小因为12个月的平均气温为10 ，所以当t12时，平均气温应该为10 ，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ，排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D，故选A函数的性质及应用典型例题 (1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，记af(2)，bf(1)，cf(3)，则a，b，c之间的大小关系为()AabcBbacCcba Dacb(2)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足在(0，)上单调递增，且f(1)0，则f(x1)0的解集为()A(，2)(1，0) B(0，)C(2，1)(1，2) D(2，1)(0，)(3)已知函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm等于()A0 B2C4 D8(4)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f_【解析】(1)因为对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，所以，得函数g(x)在(0，)上是减函数，又cf(3)f(3)，所以g(1)g(2)g(3)，即bac，故选B(2)由f(x)为奇函数，在(0，)上单调递增，且f(1)0，可得f(1)0，作出函数f(x)的示意图如图所示，由f(x1)0，可得1x11，解得2x0，所以f(x1)0的解集为(2，1)(0，)(3)f(x)2，设g(x)，因为g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)maxg(x)min0.因为Mf(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，所以Mm2g(x)max2g(x)min4.(4)因为f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以ff，又当2x3时，f(x)x，所以f，所以f.【答案】(1)B(2)D(3)C(4)(1)函数的3个性质及应用奇偶性具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x)单调性可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性周期性利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解(2)函数性质综合应用的注意点根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题 对点训练1已知函数f(x)满足f(x1)f(x1)2，则以下四个选项一定正确的是()Af(x1)1是偶函数Bf(x1)1是奇函数Cf(x1)1是偶函数Df(x1)1是奇函数解析：选D法一：因为f(x1)f(x1)2，所以f(x)f(2x)2，所以函数yf(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数yf(x1)1的图象可看作是由yf(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数yf(x1)1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数yf(x1)1是奇函数，故选D法二：由f(x1)f(x1)2，得f(x1)1f(x1)10，令F(x)f(x1)1，则F(x)F(x)0，所以F(x)为奇函数，即f(x1)1为奇函数，故选D2定义在R上的函数f(x)对任意0x2x1都有0的解集是()A(2，0)(0，2)B(，2)(2，)C(，2)(0，2)D(2，0)(2，)解析：选C由1，可得0，得x2或0x2.故选C3已知函数yf(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：对任意的x1，x24，8，当x10恒成立；f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函数若af(6)，bf(11)，cf(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是()Aabc BbacCacb Dcba解析：选B由知函数f(x)在区间4，8上为单调递增函数；由知f(x8)f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以cf(2 017)f(25281)f(1)，bf(11)f(3)；由可知函数f(x)的图象关于直线x4对称，所以bf(3)f(5)，cf(1)f(7)因为函数f(x)在区间4，8上为单调递增函数，所以f(5)f(6)f(7)，即bac.一、选择题1已知函数f(x)则f(f(2)()A4B3C2 D1解析：选A因为f(x)所以f(2)(2)2，所以f(f(2)f(2)224.2下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，)上单调递减的是()Ay Byx21Cy2x Dylog2|x|解析：选B因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A、C，又yx21在(0，)上单调递减，ylog2|x|在(0，)上单调递增，所以排除D故选B3(2019高考全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1解析：选D通解：依题意得，当x0时，y，所以函数y在(0，)上单调递减，所以排除选项B，D；又当x1时，ye2的x的取值范围是()A(2，) B(1，)C(2，) D(3，)解析：选B由f(x)exaex为奇函数，得f(x)f(x)，即exaexaexex，得a1，所以f(x)exex，则f(x)在R上单调递增，又f(x1)e2f(2)，所以x12，解得x1，故选B9如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0，1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记x，直线AM与x轴交于点N(t，0)，则函数tf(x)的图象大致为()解析：选D当x由0时，t从0，且单调递增，当x由1时，t从0，且单调递增，所以排除A、B、C，故选D10. (2019福州市第一学期抽测)如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)x2xa的解集中有且仅有1个整数，则实数a的取值范围是()Aa|2a1 Ba|2a1Ca|2a2 Da|a2解析：选B根据题意可知f(x)不等式f(x)x2xa等价于ax2xf(x)，令g(x)x2xf(x)作出g(x)的大致图象，如图所示，又g(0)2，g(1)1，g(1)2，所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则2a1，即实数a的取值范围是a|2a1故选B11(2019福州市质量检测)已知函数f(x)当xm，m1时，不等式f(2mx)f(xm)恒成立，则实数m的取值范围是()A(，4) B(，2)C(2，2) D(，0)解析：选B易知函数f(x)在xR上单调递减，又f(2mx)xm，即2xm在xm，m1上恒成立，所以2(m1)m，解得m2，故选B12已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|0时，若f(a)3，则log2aa3，解得a2(满足a0)；当a0时，若f(a)3，则4a213，解得a3，不满足a0，所以舍去可得a2.故f(a2)f(0)421.答案：14已知a0且a1，函数f(x)在R上单调递增，那么实数a的取值范围是_解析：依题意，解得1a2，故实数a的取值范围为(1，2答案：(1，215已知函数f(x)的图象关于点(3，2)对称，则函数h(x)f(x1)3的图象的对称中心为_解析：函数h(x)f(x1)3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(3，2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中心为(4，1)答案：(4，1)16已知偶函数yf(x)(xR)在区间1，0上单调递增，且满足f(1x)f(1x)0，给出下列判断：f(5)0；f(x)在1，2上是减函数；函数f(x)没有最小值；函数f(x)在x0处取得最大值；f(x)的图象关于直线x1对称其中正确的序号是_解析：因为f(1x)f(1x)0，所以f(1x)f(1x)f(x1)，所以f(2x)f(x)，所以f(x4)f(x)即函数f(x)是周期为4的周期函数由题意知，函数yf(x)(xR)关于点(1，0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知正确答案：- 18 -