（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题三 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积学案 文 新人教A版

第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积做真题1(2018高考全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：选A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.2(2018高考全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2B2C3 D2解析：选B.设过点M的高与圆柱的下底面交于点O，将圆柱沿MO剪开，则M，N的位置如图所示，连接MN，易知OM2，ON4，则从M到N的最短路径为2.3(2018高考全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10解析：选B.因为过直线O1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.4(2019高考全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥46312(cm3)又V长方体664144(cm3)，所以模型的体积为V长方形V挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)答案：118.8明考情1“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)2考查一个小题时，此小题一般会出现在第48题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一个小题难度稍高，一般会出现在第1016题的位置上，此小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查空间几何体的三视图(基础型) 知识整合一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”考法全练1一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能是()长、宽不相等的长方形；正方形；圆；椭圆ABC D解析：选B.由题设条件知，正视图中的长与侧视图中的长不一致，对于，俯视图是长方形是可能的，比如此几何体为一个长方体时，满足题意；对于，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是正方形；对于，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是圆形；对于，如果此几何体是一个椭圆柱，满足正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图可能是椭圆综上知是可能的图形2某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B12C14 D16解析：选B.由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，所以这些梯形的面积之和为212，故选B.3如图1，在三棱锥DABC中，已知ACBCCD2，CD平面ABC，ACB90.若其正视图、俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为()A. B2C. D.解析：选D.由题意知侧视图为直角三角形，因为正视图的高即几何体的高，所以正视图的高为2，则侧视图的高，即侧视图一直角边长也为2.因为俯视图为边长为2的等腰直角三角形，所以侧视图的另一直角边长为.所以侧视图的面积为，故选D.空间几何体的表面积与体积(综合型) 知识整合 柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧ch(c为底面周长，h为高)(2)S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)(3)S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高) 柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体Sh(S为底面面积，h为高)(2)V锥体Sh(S为底面面积，h为高)(3)V台(SS)h(S，S分别为上下底面面积，h为高)(不要求记忆)典型例题 (1)(2019广州市综合检测(一)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为()A.B7C. D8(2)(2019高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A. 158 B. 162C. 182 D. 324【解析】(1)由三视图可知该几何体是一个圆柱体和一个球体的四分之一的组合体，则所求的几何体的表面积为41212122127，选B.(2)如图，该柱体是一个直五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S3327，因此，该柱体的体积V276162.故选B.【答案】(1)B(2)B(1)求几何体的表面积的方法求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得此几何体的表面积 (2)求空间几何体体积的常用方法公式法：直接根据相关的体积公式计算等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体对点训练1(2019唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A1 B3C2 D4解析：选D.由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S2(1112)2(11)2114.故选D.2(2019长春市质量监测(二)一个几何体的三视图如图中粗线所示，每个小方格都是边长为1的正方形，则这个几何体的体积为()A32 B.C. D8解析：选B.如图所示四棱锥PABCD为该几何体的直观图，底面ABCD是边长为4的正方形取CD的中点为E，连接PE，则PE平面ABCD，且PE4.所以这个几何体的体积V444，故选B.3(2019长春市质量监测(一)已知一所有棱长都是的三棱锥，则该三棱锥的体积为_解析：记所有棱长都是的三棱锥为PABC，如图所示，取BC的中点D，连接AD，PD，作POAD于点O，则PO平面ABC，且OP，故三棱锥PABC的体积VSABCOP()2.答案：与球有关的切、接问题(综合型) 典型例题 (1)已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()A4B.C. D16(2)(2019洛阳尖子生第二次联考)四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于88，则球O的体积等于()A. B.C16 D.【解析】(1)如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径rOB2.故这个球的表面积S4r216.故选D.(2)由题意得，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥如图，连接AC，则球心O为AC的中点，连接SO，设球O的半径为R，则AC2R，SOR，所以ABBCR.取AB的中点为E，连接OE，SE，则OEBCR，SER.因为该四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于88，所以(R)24RR88，解得R2，所以球O的体积等于R3.故选A.【答案】(1)D(2)A解决与球有关的切、接问题的策略(1)“接”的处理构造正(长)方体，转化为正(长)方体的外接球问题空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当截面(过球心，接点等)利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线(2)“切”的处理体积分割法求内切球半径作出合适的截面(过球心，切点等)，在平面上求解多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题 对点训练1已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A. B.C16 D32解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2(3R)2()2，解得R2，所以所求球的体积VR323，故选B.2(2019重庆市学业质量调研)三棱锥SABC中，SA，SB，SC两两垂直，已知SAa，SBb，SC2，且2ab，则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为()A. B.C4 D6解析：选A.由题意，设三棱锥的外接球的半径为R，因为SA，SB，SC两两垂直，所以以SA，SB，SC为棱构造长方体，其体对角线即三棱锥的外接球的直径，因为SAa，SBb，SC2，所以4R2a2b24a245(a1)2，所以当a1时，(4R2)min，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为，故选A.3(2019福建五校第二次联考)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的直径为_解析：如图，设BC的中点为D，B1C1的中点为D1，连接DD1，取其中点O，连接AD，A1D1，则DADBDC，D1A1D1B1D1C1，且DD1垂直于直三棱柱的上、下底面，所以点O到直三棱柱的各个顶点的距离相等，即点O为直三棱柱的外接球的球心O，连接OB，则球O的直径为2BO2213.答案：13一、选择题1一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是()解析：选D.如果该几何体是一个底面是等腰直角三角形，且侧棱与底面垂直的直三棱柱，故A可能；如果该几何体是一个圆柱，则其俯视图必为圆，故B可能；如果该几何体是一个正方体，则其俯视图必为正方形，故C可能；如果该几何体是一个长方体，则其正视图和侧视图中必有一个为长方形，故D错误；根据排除法可知，选项D符合题意2某几何体的三视图中的三角形都是直角三角形如图所示，则该几何体中直角三角形的个数为()A1B2C3 D4解析：选D.依题意，该几何体是一个底面为直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，其四个面均为直角三角形3(2019武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥ABC1M的体积VABC1M()A. B.C. D.解析：选C.VABC1MVC1ABMSABMC1CABADC1C.故选C.4平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则球O的表面积为()A4 B8C16 D32解析：选C.如图，因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，所以R2()2124，所以球O的表面积S4R216，故选C.5(2019蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为()A1 B.C2 D2解析：选B.根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V3.故选B.6某几何体三视图如图所示，则此几何体的体积为()A64048 B176C64016 D704解析：选C.由三视图可知，该几何体是上面是底面半径为4，高是3的圆锥，下面是底面边长为8的正方形，高是10的长方体，所以该几何体的体积V881042364016.7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为()A242 B210C10 D124解析：选B.由三视图可知，该三棱锥的直观图PABC如图所示，其中三角形PAB与三角形PCB为全等的直角三角形，其面积为244，ABC为等腰直角三角形，面积为222，PAC为等腰三角形，面积为22，所以表面积是4422102.8在三棱锥SABC中，SBBC，SAAC，SBBC，SAAC，ABSC，且三棱锥SABC的体积为，则该三棱锥的外接球半径是()A1 B2C3 D4解析：选C.取SC的中点O，连接OA，OB，则OAOBOCOS，即O为三棱锥的外接球球心，设半径为r，则2rr2，所以r3.9在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA11，则点B到平面D1AC的距离等于()A. B.C1 D.解析：选B.如图，连接BD1，易知D1D就是三棱锥D1ABC的高，AD1CD1，取AC的中点O，连接D1O，则D1OAC，所以D1O.设点B到平面D1AC的距离为h，则由VBD1ACVD1ABC，即SD1AChSABCD1D，又SD1ACD1OAC2，SABCABBC222，所以h.故选B.10(2019湖南省五市十校联考)某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，俯视图的轮廓是直角梯形，则该四棱锥的各侧面中，面积的最大值为()A8 B4C8 D12解析：选D.由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形，高为4的四棱锥，如图，其中侧棱PA平面ABCD，PA4，AB4，BC4，CD6，所以AD2，PD6，PB4，连接AC，则AC4，所以PC4，显然在各侧面面积中PCD的面积最大，又PDCD6，所以PC边上的高为2，所以SPCD4212，故该四棱锥的各侧面中，面积的最大值为12.故选D.11(2019洛阳尖子生第二次联考)已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面圆面积的最小值是()A. B2C. D3解析：选C.设正三角形ABC的中心为O1，连接OO1，OA，O1A，由题意得O1O平面ABC，O1O1，OA2，所以在RtO1OA中，O1A，所以AB3.因为E为AB的中点，所以AE.连接OE，则OEAB.过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径r，可得截面圆面积的最小值为r2，故选C.12(2019河北省九校第二次联考)已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为4，则该三棱柱的体积的最大值为()A1 B.C2 D2解析：选A.如图，取ABC的中心O，连接OO，OA，OA，则OO平面ABC，设OOx，球O的半径为R，因为球O的表面积为4，所以4R24，所以R1，0x1，所以AO，ABAO，所以三棱柱的体积VSABC2OOAB2sin 2x(xx3)，V(13x2)，所以V在上单调递增，在上单调递减，所以Vmax1，选A.二、填空题13(一题多解)(2018高考天津卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为_解析：法一：连接A1C1交B1D1于点E，则A1EB1D1，A1EBB1，则A1E平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1BB1D1D的高，且A1E，矩形BB1D1D的长和宽分别为，1，故VA1BB1D1D1.法二：连接BD1，则四棱锥A1BB1D1D分成两个三棱锥BA1DD1与BA1B1D1，VA1BB1D1DVBA1DD1VBA1B1D1111111.答案：14已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是直角边长分别为1，2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为33.答案：315某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是_解析：由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S62212124(1).答案：2416将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为_解析：V球13，V柱44.设重新锻造成一个大铁球的半径为R，则R34，R，则该大铁球的表面积S4()28.答案：817.(2019江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为_解析：把三视图还原成几何体ABCDEF，如图所示，在AD上取点G，使得AG2，连接GE，GF，则把几何体ABCDEF分割成三棱柱ABCGEF和三棱锥DGEF，所以VABCDEFVABCGEFVDGEF4242.答案：18(2019武汉市调研测试)将一个表面积为100的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为_解析：如图，设球的球心为O，半径为R，则4R2100，解得R5.设圆柱的高为x(0x10)，圆柱底面圆的圆心为O1，A是圆柱底面圆周上一点，连接OO1，OA，O1A，则OO1，圆柱底面圆的半径O1A，所以圆柱的体积Vx(0x10)，则V，易知函数V(0x10)在上单调递增，在上单调递减，所以当x时，圆柱的体积V取得最大值答案：- 17 -