（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列的性质与求和学案 文 新人教A版

第2讲数列的性质与求和 做真题1(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a10，a23a1，则_解析：设等差数列an的公差为d，由a23a1，即a1d3a1，得d2a1，所以4.答案：42(2017高考全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解：(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，从而an的通项公式为an(nN*)(2)记的前n项和为Sn.由(1)知.则Sn.明考情1高考对数列性质的考查主要以选择、填空题的形式出现，考查数列的周期性、单调性、数列最值等，难度中等2高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的前n项和，难度中等偏下数列的性质(综合型) 典型例题 (1)已知数列an满足：an1anan1(n2，nN*)，a11，a22，Sn为数列an的前n项和，则S2 020()A3B2C1 D0(2)已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1，an2an10，则Sn的最大值与最小值的积为_【解析】(1)因为an1anan1，a11，a22，所以a31，a41，a52，a61，a71，a82，故数列an是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 0203360a2 017a2 018a2 019a2 020a1a2a3a43.(2)因为an2an10，所以，所以等比数列an的公比为，因为a1，所以Sn1.当n为奇数时，Sn1，Sn随着n的增大而减小，则1SnS1，故0Sn；当n为偶数时，Sn1，Sn随着n的增大而增大，则S2Sn1，故Sn0.综上，Sn的最大值与最小值分别为，.故Sn的最大值与最小值的积为.【答案】(1)A(2)判断数列的增减性的方法函数法：构造函数，通过判断所构造函数的增减性，即可得出相应数列的增减性定义法：利用增减数列的定义判断数列的增减性作差法：对于数列中任意相邻的两项an1，an，通过作差an1an，判断其与0的大小，即可判断数列的增减性作商法：数列的各项非零且同号(同正或同负)，对于数列中任意相邻的两项an1，an，通过作商，判断其与1的大小，即可判断数列的增减性 对点训练1已知数列an满足a12，an1(nN*)，则a1a2a3a2 019()A6 B6C3 D3解析：选D.因为a12，an1，所以a23，a3，a4，a52，所以an4an，又a1a2a3a41，所以a1a2a3a2 019(a1a2a3a4)504a1a2a312(3)3.故选D.2已知数列an的通项公式为an(n2)，则当an取得最大值时，n_解析：当an取得最大值时，有所以解得所以当an取得最大值时，n5或6.答案：5或6裂项相消法求和(综合型) 知识整合 裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂项后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的数列的前n项和 常见的裂项类型(1).(2).(3).(4).典型例题 (2019河北省九校第二次联考)已知数列an为等比数列，首项a14，数列bn满足bnlog2an，且b1b2b312.(1)求数列an的通项公式；(2)令cnan，求数列cn的前n项和Sn.【解】(1)由bnlog2an和b1b2b312得log2(a1a2a3)12，所以a1a2a3212.设等比数列an的公比为q，因为a14，所以a1a2a344q4q226q3212，计算得q4.所以an44n14n.(2)由(1)得bnlog24n2n，cn4n4n4n.设数列的前n项和为An，则An1，设数列4n的前n项和为Bn，则Bn(4n1)，所以Sn(4n1)求解此类题需过“三关”：一是求通项关，即会利用求通项公式的常用方法，求出数列的通项公式；二是巧裂项关，即能将数列的通项公式准确裂项，表示为两项之差的形式；三是消项求和关，即把握消项的规律，求和时正负项相消，准确判断剩余的项是哪几项，从而准确求和 对点训练(2019湖南省五市十校联考)已知首项为2的数列an的前n项和为Sn，Sn，设bnlog2an.(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列bn是否为等差数列，并说明理由；(3)求数列的前n项和Tn.解：(1)依题意得a12，则n1时，S1a1，所以a28.当n2时，Sn1，则anSnSn1，整理得4.又4，所以数列an是首项为2，公比为4的等比数列，所以an24n122n1.(2)bnlog2anlog222n12n1，则bn1bn2n1(2n1)2，且b11，所以数列bn是等差数列(3)由(2)得bn2n1，所以，所以Tn.错位相减法求和(综合型) 典型例题 (2019郑州市第二次质量预测)已知数列an中，a11，an0，前n项和为Sn，若an(nN*，且n2)(1)求数列an的通项公式；(2)记cnan2an，求数列cn的前n项和Tn.【解】(1)在数列an中，anSnSn1(n2)，因为an，且an0，所以得1(n2)，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以Snn2.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，当n1时，a11，也满足上式，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，an2n1，所以cn(2n1)22n1，则Tn12323525(2n1)22n1，4Tn123325527(2n3)22n1(2n1)22n1，两式相减得，3Tn22(232522n1)(2n1)22n122(2n1)22n122n1，所以Tn.应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数(3)为保证结果正确，可对得到的和取n1，2进行验证 对点训练已知an为正项等比数列，a1a26，a38.(1)求数列an的通项公式an；(2)若bn，且bn的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)依题意，设等比数列an的公比为q，则有，则3q24q40，而q0，所以q2.于是a12，所以数列an的通项公式为an2n.(2)由(1)得bn，所以Tn，Tn，两式相减得，Tn，所以Tn12.数列与其他知识的交汇问题(交汇型) 典型例题 设数列an的前n项和是Sn，若点An在函数f(x)xc的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a13.(1)求数列an的通项公式；(2)记bnaan，求数列bn的前n项和Tn的最小值【解】(1)因为点An在函数f(x)xc的图象上运动，所以nc，所以Snn2cn.因为a13，所以c4，所以Snn24n，所以anSnSn12n5(n2)又a13满足上式，所以an2n5(n1)(2)由(1)知，bnaan2an52(2n5)54n5，所以Tn2n23n.所以Tn的最小值是T11.数列与函数交汇问题的常见类型及解法(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题(2)已知数列条件，需构造函数，利用函数知识解决问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解 对点训练1设等比数列an满足an0，且a34a4 00012，则的最小值为_解析：因为等比数列an满足an0，且a34a4 00012，所以a2 015a2 019a34a4 00012.所以221，当且仅当，即a2 0156，a2 0192时，等号成立，所以的最小值为1.答案：12已知定义在R上的函数g(x)是单调递减的奇函数，若g(x)f(x)2，数列an满足a1f(0)，且f(an1)f，nN*，则a2 019的值为_解析：因为g(x)f(x)2，且函数g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(0)0，所以f(0)20，解得f(0)2.因为函数g(x)f(x)2是定义在R上的单调递减函数，所以函数f(x)在R上是单调递减函数，因为f(an1)f，所以an1，整理可得3.因为a1f(0)2，所以1，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n1，即an，所以a2 019.答案：一、选择题1数列an满足a11，a23，an1(2n)an(n1，2，)，则a3等于()A15B10C9 D5解析：选A.由a2(2)a1，可得23，解得1，所以a3(221)315，故选A.2数列an的前n项和为Snn2n1，bn(1)nan(nN*)，则数列bn的前50项和为()A49 B50C99 D100解析：选A.由题意得，当n2时，anSnSn12n，当n1时，a1S13，所以数列bn的前50项和为346810969810014849，故选A.3已知数列an中，a1a21，an2则数列an的前20项和为()A1 121 B1 122C1 123 D1 124解析：选C.由题意可知，数列a2n是首项为1，公比为2的等比数列，数列a2n1是首项为1，公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为10121 123.故选C.4已知函数f(x)，执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A. B.C. D.解析：选B.模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，可得：S1.5已知等比数列an，a11，a4，且a1a2a2a3anan1k，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D.设等比数列an的公比为q，q0，则q3，解得q，所以an，所以anan1，所以数列anan1是首项为，公比为的等比数列，所以a1a2a2a3anan1.因为a1a2a2a3anan1k，所以k.故k的取值范围是.故选D.6已知数列an满足2a122a22nann(nN*)，数列的前n项和为Sn，则S1S2S3S10()A. B.C. D.解析：选C.因为2a122a22nann(nN*)，所以2a122a22n1an1n1(n2)，两式相减得2nan1(n2)，a1也满足上式，故an，故，Sn11，所以S1S2S3S10，故选C.二、填空题7已知数列an的前n项和Sn满足SnSmSnm(n，mN*)且a15，则a8_解析：数列an的前n项和Sn满足SnSmSnm(n，mN*)且a15，令m1，则Sn1SnS1Sn5，即Sn1Sn5，所以an15，所以a85.答案：58我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天织了5尺布，问这女子每天分别织布多少？”根据问题中的条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则该女子所需的天数至少为_天解析：设该女子第1天织布x尺，则5，解得x.所以前n天所织布的尺数为(2n1)令(2n1)30，则2n187，又nN*，故n的最小值为8.答案：89已知函数f(x)ax1(a0，a1)的图象过点(3，9)当nN*时，an，若数列an的前n项和为，则n的值为_解析：设数列an的前n项和为Sn，因为函数f(x)ax1(a0，a1)的图象过点(3，9)，所以a319，所以a2，所以f(x)2x1，所以an，所以Sn.因为数列an的前n项和为，所以，解得n5.答案：5三、解答题10(2019重庆市七校联合考试)已知等差数列an的公差为d，且关于x的不等式a1x2dx30的解集为(1，3)(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2an，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)由题意知，方程a1x2dx30的两个根分别为1和3.则，解得.故数列an的通项公式为ana1(n1)d1(n1)22n1.(2)由(1)知an2n1，所以bn2an2n(2n1)，所以Sn(222232n)(1352n1)2n1n22.11已知Sn为等差数列an的前n项和，且a1733，S749.(1)证明：a1，a5，a41成等比数列；(2)求数列an3n的前n项和Tn.解：(1)证明：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a1733，S749，则解得a11，d2，所以an2n1.则a11，a59，a4181，即aa1a41.所以a1，a5，a41成等比数列(2)由(1)得：an3n(2n1)3n，Tn131332(2n1)3n，3Tn132333(2n1)3n1，得，2Tn323223323n(2n1)3n132(2n1)3n1，整理得Tn(n1)3n13.故数列an3n的前n项和为Tn(n1)3n13.12(2019安徽省考试试题)已知等差数列an中，a5a34，其前n项和为Sn，且S2，S31，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设an的公差为d，由a5a34，得2d4，d2.所以S22a12，S313a15，S44a112，又S2，S31，S4成等比数列，所以(3a15)2(2a12)(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n(1)n，当n为偶数时，Tn1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn.- 13 -