（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第十章 统计与统计案例、概率 第3节 变量间的相关关系与统计案例学案 文 新人教A版

第3节变量间的相关关系与统计案例最新考纲1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求22列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.知 识 梳 理1.相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.2.线性回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归方程为x_，则，.其中，是回归方程的斜率，是在y轴上的截距.回归直线一定过样本点的中心(，).3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心.(3)相关系数当r0时，表明两个变量正相关；当r0，则正相关；r0时，正相关；R；x，y之间不能建立线性回归方程.解析(1)从统计图表中看出，月收入的中位数是(1517)16，收入增加，则支出也增加，x与y正线性相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故正确；由散点图知用yc1ec2x拟合比用x拟合效果要好，则RR，故正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故错误.答案(1)C(2)考点二线性回归方程及应用【例2】 (2015全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. (xi)2 (wi)2 (xi)(yi) (wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，wi.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.解(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程，由于68，563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时，取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.规律方法1.(1)正确理解计算，的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.(2)回归直线方程x必过样本点中心(，).2.(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.(2)本例中y与x不具有线性相关，先作变换，转化为y与w具有线性相关，求出y关于w的线性回归方程，然后进一步求解.【训练2】 (2018日照调研)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：年份x20132014201520162017储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，tx2 012，zy5得到下表2：时间代号t12345z01235表2(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程x，其中，)解(1)3，2.2，tizi45，t55，1.2，2.231.21.4，所以1.2t1.4.(2)将tx2 012，zy5，代入1.2t1.4，得y51.2(x2 012)1.4，即1.2x2 410.8.(3)因为1.22 0222 410.815.6，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.考点三独立性检验【例3】 (2017全国卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.附： K2解(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高.因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.规律方法1.在22列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足adbc0.|adbc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|adbc|越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成22列联表：(2)根据公式K2计算K2的观测值k；(3)比较观测值k与临界值的大小关系，作统计推断.【训练3】 (2018合肥质检)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的22列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计附：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为.(2)根据统计数据，可得22列联表如下：选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105女生304575合计9090180则K2的观测值为k5.142 95.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K23.841)0.05，P(K26.635)0.01，则下列说法正确的是()A.有95%的把握认为“X和Y有关系”B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”C.有99%的把握认为“X和Y有关系”D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”解析依题意K2的观测值为k5，且P(K23.841)0.05，因此有95%的把握认为“X和Y”有关系.答案A2.(2018石家庄模拟)下列说法错误的是()A.回归直线过样本点的中心(，)B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C.对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D.在回归直线方程0.2x0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位解析根据相关定义分析知A，B，D正确，C中对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故C错误.答案C3.(2017汉中模拟)已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：x42124y5310.51根据上述数据得到的回归方程为x，则大致可以判断()A.0，0 B.0，0C.0 D.0，0，6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.答案A5.(2017山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为x.已知xi225，yi1 600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A.160 B.163 C.166 D.170解析由已知得22.5，160，回归直线方程过样本点中心(，)，且4，160422.5，解得70.回归直线方程为4x70，当x24时，166.答案C二、填空题6.(2017西安模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程0.67x54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为_.解析由30，得0.673054.975.设表中的“模糊数字”为a，则62a758189755，a68.答案687.(2018赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过_.附表：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析由列联表计算K2的观测值k5.5565.024.推断犯错误的概率不超过0.025.答案0.0258.(2018长沙雅礼中学质检)某单位为了了解用电量y(度)与气温x()之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温()1813101用电量(度)24343864由表中数据得回归直线方程x中的2，预测当气温为4 时，用电量约为_度.解析根据题意知10，40.所以40(2)1060，2x60，所以当x4时，y(2)(4)6068，所以用电量约为68度.答案68三、解答题9.(2018重庆调研)某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：满意不满意男用户3010女用户2020(1)根据上表，现用分层抽样的方法抽取对产品满意的用户5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.P(K2k0)0.1000.0500.0250.010k02.7063.8415.0246.635注：K2，nabcd.解(1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为.所以在满意产品的用户中应抽取女用户202(人)，男用户303(人).抽取的5人中，三名男用户记为a，b，c，两名女用户记为r，s，则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab，ac，ar，as，bc，br，bs，cr，cs，rs.其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar，as，br，bs，cr，cs.故所求的概率为P0.6.(2)由题意，得K2的观测值为k5.3335.024.又P(K25.024)0.025.故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”.10.(2018惠州模拟)某市春节期间7家超市广告费支出xi(万元)和销售额yi(万元)数据如下表：超市ABCDEFG广告费支出xi1246111319销售额yi19324044525354(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；(2)若用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：0.17x25x20，经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为0.93和0.75，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额.参考数据：8，42，xiyi2 794，x708.参考公式：，.解(1) 1.7.v421.7828.4，故y关于x的线性回归方程是1.7x28.4.(2)0.753.841.由统计表P(K23.841)0.05，有95%的把握认为“能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”.答案A12.在2018年3月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是3.2x40，且mn20，则其中的n_.解析8，6.回归直线一定经过样本中心(，)，即63.240，即3.2mn42.又因为mn20，即解得故n10.答案1013.(2018湖南百所重点中学阶段性诊断)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.月份1234利润y(单位：百万元)4466相关公式：，.解(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为123567428(百万元)，第2年前7个月的总利润为255455531(百万元).第3年前7个月的总利润为446676841(百万元)，所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)2.5，5，1222324230，1424364654，0.8，52.50.83.因此线性回归方程为0.8x3.当x8时，0.8839.4.估计第3年8月份的利润为9.4百万元.18