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1.5.3定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质知识点一定积分的概念思考分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答案两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限梳理一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxf(i)，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式知识点二定积分的几何意义思考1根据定积分的定义求得(x1)dx的值是多少？答案(x1)dx.思考2(x1)dx的值与直线x1，x2，y0，f(x)x1围成的梯形面积有何关系？答案相等梳理从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积这就是定积分f(x)dx的几何意义注意：f(x)0(图象在x轴的下方)时，f(x)dx0，f(x)dx等于曲边梯形的面积知识点三定积分的性质思考你能根据定积分的几何意义解释f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)吗？答案直线xc把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即SS1S2.梳理(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0D若f(x)在a，b上连续且f(x)dx0，则f(x)在a，b上恒正考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案D解析A项，因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A项正确；B项，因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故y轴两侧的图象都在x轴上方或下方且面积相等，故B项正确；由定积分的几何意义知，C项显然正确；D项，f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)0的曲线围成的面积比f(x)0的曲线围成的面积大4与定积分相等的是()A.B.Csin xdxD.考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案C解析当x0，时，sin x0；当x时，sin xbc BacbCabc Dcab考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案A解析根据定积分的几何意义，易知x3dxx2dxbc，故选A.8若|56x|dx2 016，则正数a的最大值为()A6 B56C36 D2 016考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案A解析由|56x|dx56|x|dx2 016，得|x|dx36，|x|dxa2，a236，即0a6.故正数a的最大值为6.二、填空题9若f(x)dx1，3f(x)dx2，则f(x)dx_.考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用答案解析f(x)dxf(x)dx1，f(x)dx2.又3f(x)dx3f(x)dx2，f(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx2.10如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为_考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案dx11定积分(2)dx_.考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案2解析原式2dxdx.因为2dx2，dx，所以(2)dx2.12已知f(x)是一次函数，其图象过点(3,4)且f(x)dx1，则f(x)的解析式为_考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案f(x)x解析设f(x)axb(a0)，f(x)图象过(3,4)点，3ab4.又f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab1.解方程组得f(x)x.三、解答题13已知f(x)求f(x)在区间0,5上的定积分考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解如图画出函数f(x)的图象由定积分的几何意义得xdx222，(4x)dx(12)1，dx211.所以f(x)dxxdx(4x)dxdx21.四、探究与拓展14若定积分dx，则m等于()A1 B0C1 D2考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案A解析根据定积分的几何意义知，定积分dx的值就是函数y的图象与x轴及直线x2，xm所围成的图形的面积y是一个以(1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于，而dx，所以m1.15.如图所示，抛物线yx2将圆x2y28分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为，求dx.考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解解方程组得x2.阴影部分的面积为dx.圆的面积为8，由几何概型可得阴影部分的面积是82.由定积分的几何意义得，dxdx.13
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