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第2讲两直线的位置关系板块一知识梳理自主学习必备知识考点1两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2，b1b2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.2.两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解考点2三种距离公式1.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|.2.点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.3.两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.必会结论1.与直线AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.2.与对称问题相关的两个结论：(1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P(2ax0,2by0)(2)设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点为P(x，y)，则有可求出x，y.考点自测 1.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交()(2)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()(5)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.课本改编过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()A.x2y10 Bx2y10C.2xy20 Dx2y10答案A解析设直线方程为x2yc0，又经过点(1,0)，故c1，所求方程为x2y10.3.2018重庆模拟若直线ax2y10与直线xy20互相垂直，那么a的值等于()A.1 B C D2答案D解析由a1210得a2，故选D.4.课本改编已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A. B2C.1 D.1答案C解析由题意知1，|a1|，又a0，a1.5.课本改编平行线3x4y90和6x8y20的距离是()A. B2 C. D.答案B解析依题意得，所求的距离等于2.6.2018南宁模拟直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()A.x2y10 B2xy10C.2xy30 Dx2y30答案D解析设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x1的对称点(2x，y)在直线x2y10上，即2x2y10，化简得x2y30.板块二典例探究考向突破考向平行与垂直问题 例1(1)直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A.平行 B垂直C.相交但不垂直 D不能确定答案C解析由可得3x2mn0，由于3x2mn0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为2，斜率之积不等于1，故不垂直.(2)2018金华十校模拟“直线axy0与直线xay1平行”是“a1”成立的()A.充分不必要条件 B必要不充分条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由直线axy0与xay1平行，得a21，即a1，所以“直线axy0与xay1平行”是“a1”的必要不充分条件.触类旁通两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1l2k1k2，l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意(2)设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1A2B1B20.【变式训练1】(1)“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2，m3是l1l2的充分不必要条件.(2)2018宁夏模拟若直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行，则实数m的值为_答案0或解析因为直线l1：x2my10与l2：(3m1)xmy10平行，则斜率相等或者斜率不存在，或者m0，m或0.考向距离公式的应用例22018潍坊模拟已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k，此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100. (2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.触类旁通与距离有关问题的常见类型及解题策略(1)求距离利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离(2)已知距离求参数值列方程求出参数(3)求距离的最值可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值.【变式训练2】(1)若直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离是，则mn()A.0 B1 C1 D2答案A解析直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离为，n2，m2(负值舍去)，mn0.(2)已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值为_答案或解析由题意及点到直线的距离公式得，解得a或.考向对称问题命题角度1点关于点的对称 例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，求直线l的方程解设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40.命题角度2点关于线的对称例4若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.命题角度3直线关于直线的对称例5直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()A.x2y30 Bx2y30C.x2y10 Dx2y10答案A解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，则2(y2)(x2)30，即x2y30.命题角度4对称问题的应用例6已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大解(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2，3)(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10).触类旁通解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点为A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.核心规律1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称满分策略1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若直线无斜率，要单独考虑2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时，一定要注意先把两直线方程中的x，y的系数化成相等板块三启智培优破译高考题型技法系列 13物理光学中对称思想的应用 2018湖南模拟在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A.2 B1 C. D.解题视点依入射光线与反射光线的对称性知，点P关于直线BC的对称点P2在直线RQ上，点P关于直线AC的对称点P1也在直线RQ上，所以点P1，D，P2三点共线(D为ABC的重心)，利用kP1DkP2D即可破解解析以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)设ABC的重心为D，则D点坐标为.设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(m,0)，因为直线BC方程为xy40，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，kP1DkP2D，即，解得m或m0.当m0时，P点与A点重合，故舍去m.答案D答题启示许多问题都隐含着对称性，要注意深刻挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等，恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果. 跟踪训练光线从A(4，2)点射出，射到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程解作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为.即10x3y80.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标1.2018四川模拟设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若两直线平行，则a(a1)2，即a2a20，a1或2，故a1是两直线平行的充分不必要条件.2.若直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A.12 B2 C0 D10答案A解析由2m200得m10.由垂足(1，p)在直线mx4y20上，得104p20，p2.又垂足(1，2)在直线2x5yn0上，则解得n12.3.2018启东模拟不论m为何值时，直线(m1)x(2m1)ym5恒过定点()A. B(2,0)C.(2,3) D(9，4)答案D解析由(m1)x(2m1)ym5，得(x2y1)m(xy5)0，由得定点坐标为(9，4)，故选D.4.P点在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为，则P点坐标为()A.(1,2) B(2,1)C.(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2)答案C解析设P(x,53x)，则d，化简得|4x6|2，即4x62，解得x1或x2，故点P的坐标为(1,2)或(2，1).5.2018绵阳模拟若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B. C. D.答案C解析因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ| 的最小值为.6.2018合肥模拟已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A.x2y10 Bx2y10C.xy10 Dx2y10答案B解析因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(1，1)为l2上两点，可得l2的方程为x2y10.7.若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为()A.3 B2 C3 D4答案A解析l1：xy70和l2：xy50是平行直线，可判断AB所在直线过原点且与直线l1，l2垂直时，中点M到原点的距离最小直线l1：xy70，l2：xy50，两直线的距离为，又原点到直线l2的距离为，AB的中点M到原点的距离的最小值为3.故选A.8.设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_答案2,2解析b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值b的取值范围是2,2.9.已知直线l1：axy2a0，l2：(2a1)xaya0互相垂直，则实数a的值是_答案0或1解析因为直线l1：axy2a0，l2：(2a1)xaya0互相垂直，故有a(2a1)a(1)0，可知a的值为0或1.10.2018银川模拟点P(2,1)到直线l：mxy30(mR)的最大距离是_答案2解析直线l经过定点Q(0，3)，如图所示由图知，当PQl时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ| 2，所以点P(2，1)到直线l的最大距离为2.B级知能提升1.2018东城期末如果平面直角坐标系内的两点A(a1，a1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()A.xy10 Bxy10C.xy10 Dxy10答案A解析因为直线AB的斜率为1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为yxb，由题意知直线l过点，所以b，解得b1，所以直线l的方程为yx1，即xy10.故选A.2.2018宜春统考已知直线l过点P(3,4)且与点A(2，2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为()A.2x3y180B.2xy20C.3x2y180或x2y20D.2x3y180或2xy20答案D解析依题意，设直线l：y4k(x3)，即kxy43k0，则有，因此5k2k6或5k2(k6)，解得k或k2，故直线l的方程为2x3y180或2xy20.3.2018淮安调研已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案6xy60解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.4.已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值：(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在且l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或a2，b2或a，b2.5.2018合肥模拟已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，由已知条件得解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)解法一：在l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(1，2)的对称点M，N均在直线l上，易得M(3，5)，N(6，7)，再由两点式可得l的方程为2x3y90.解法二：ll，设l的方程为2x3yC0(C1)点A(1，2)到两直线l，l的距离相等，由点到直线的距离公式，得，解得C9，l的方程为2x3y90.解法三：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.14
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