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第4讲数列求和板块一知识梳理自主学习必备知识考点数列求和的六种方法1公式法2分组求和法3倒序相加法4并项求和法5裂项相消法6错位相减法必会结论常见的拆项公式(1)；(2)；(3).考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an.()答案(1)(2)(3)(4)22018长沙模拟已知数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10等于()A15 B12 C12 D15答案A解析an(1)n(3n2)，a1a2a10147102528(14)(710)(2528)3515.32018吉林模拟数列an，bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前10项之和为()A. B. C. D.答案B解析bn，S10b1b2b3b10.故选B.4课本改编数列1，2，4，的前2n项和S2n_.答案2n解析S2n(1242n1)2n112n.52018南京模拟已知an，设bn，记bn的前n项和为Sn，则Sn_.答案解析bnn3n，于是Sn13232333n3n，3Sn132233334n3n1，得2Sn332333nn3n1，即2Snn3n1，Sn3n13n1.板块二典例探究考向突破考向分组转化法求和例12016北京高考已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)等比数列bn的公比q3，所以b11，b4b3q27.设等差数列an的公差为d，因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2，所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知，an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1，从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.触类旁通分组转化求和通法若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化【变式训练1】2018西安模拟已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.n1时，a11符合上式，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.考向裂项相消法求和命题角度1形如an 型例22018正定模拟已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，若d，S9为函数f(x)(x2)(x99)的两个零点且dS9.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为d，S9为函数f(x)(x2)(x99)的两个零点且dS9，所以d2，S999，又因为Snna1d，所以9a1299，解得a13，an是首项为3，公差为2的等差数列所以ana1(n1)d2n1.(2)bn ()，Tn()()()().命题角度2形如an型例32017全国卷设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，满足上式，所以an的通项公式为an(nN*)(2)记的前n项和为Sn.由(1)知，则Sn.命题角度3形如an型例4正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.当n1时，a1221符合上式综上，数列an的通项公式为an2n.(2)证明：由于an2n，故bn.Tn110，由以上两式联立方程组解得a12，q2，所以an2n.(2)由题意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn.因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn5.触类旁通用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解【变式训练2】已知等差数列an的前n项和为Sn，若Sm14，Sm0，Sm214(m2，且mN*)(1)求m的值；(2)若数列bn满足log2bn(nN*)，求数列(an6)bn的前n项和解(1)由已知得amSmSm14，且am1am2Sm2Sm14，设数列an的公差为d，则有2am3d14，d2.由Sm0，得ma120，即a11m，ama1(m1)2m14，m5.(2)由(1)知a14，d2，an2n6，n3log2bn，得bn2n3.(an6)bn2n2n3n2n2.设数列(an6)bn的前n项和为Tn，Tn121220(n1)2n3n2n22Tn120221(n1)2n2n2n1，得Tn21202n2n2n1n2n12n1n2n1(1n)2n1.Tn(n1)2n1(nN*)核心规律非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和满分策略1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论2在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项. 板块三启智培优破译高考规范答题系列3求数列|an|的前n项和问题2018德州模拟在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解题视点对等差数列an，求|an|的前n项和的题型，常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负，或先求出an，解an0的n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负若前k项为负，从k1项开始以后的项非负，则|an|的前n项和Tn若前k项为正，以后各项非正，则Tn解(1)由题意得5a3a1(2a22)2，即d23d40，故d1或4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d6时，a7，a8，an均为负数，故SnS60，此时TnS6|SnS6|S6S6Sn72n212n.故|an|的前n项和Tn板块四模拟演练提能增分A级基础达标1若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2答案C解析Sna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22.22017全国卷等差数列的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为()A24 B3 C3 D8答案A解析由已知条件可得a11，d0，由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.故选A.32018江南十校联考已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2017()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析由f(4)2可得4a2，解得a，则f(x)x.所以an，S2017a1a2a3a2017()()()()()1.故选C.42018金版创新已知数列an的前n项和为Sn，a11，当n2时，an2Sn1n，则S2017的值为()A2017 B2016 C1009 D1007答案C解析因为an2Sn1n，n2，所以an12Snn1，n1，两式相减得an1an1，n2.又a11，所以S2017a1(a2a3)(a2016a2017)1009.故选C.5在数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则aaaa等于()A(3n1)2 B.(9n1)C9n1 D.(3n1)答案B解析因为a1a2an3n1，所以a1a2an13n11(n2)则n2时，an23n1.当n1时，a1312，适合上式，所以an23n1(nN*)则数列a是首项为4，公比为9的等比数列故选B.62017郑州模拟设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.答案130解析由an2n10(nN*)知，an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100，得n5，所以当n5时，an0，当n5时，an0，所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.7化简Snn(n1)2(n2)2222n22n1的结果是_答案2n1n2解析Snn(n1)2(n2)2222n22n1，2Snn2(n1)2232n222n12n，得Snn2222n22n12nn2n1n2.82017全国卷等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则_.答案解析设等差数列an的公差为d，则由得Snn11，2，22.92018衡阳模拟在等比数列an中，公比q1，等差数列bn满足b1a13，b4a2，b13a3.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记cn(1)nbnan，求数列cn的前2n项和S2n.解(1)由题意，b1a13，b4a23q，b13a33q2.又bn为等差数列，设公差为d，化简得q24q30，q1(舍)或q3，an3n，d2，bn32(n1)2n1.(2)由题意得cn(1)n(2n1)3n.S2n33532733(4n1)32n1(4n1)32n(33232n)3579(4n1)(4n1)(53)(97)(4n1)(4n1)2n.102018北京西城区模拟设等差数列an的前n项和为Sn，已知a19，a2为整数，且SnS5.(1)求an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解(1)由a19，a2为整数可知，等差数列an的公差d为整数又SnS5，a50，a60，于是94d0,95d0，解得d.d为整数，d2.故an的通项公式为an112n.(2)证明：由(1)，得，Tn.令bn，由函数f(x)的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0b1b2b3b4，b5b6b71020，那么n的最小值是()A7 B8 C9 D10答案D解析an12222n12n1.Sn(211)(221)(2n1)(21222n)n2n1n2，S910131020，Sn1020，n的最小值是10.故选D.32016浙江高考设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.答案1121解析an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，数列是公比为3的等比数列，3.又S24，S11，a11，S53434，S5121.4已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足Snan1n1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlog3(an1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解(1)由Snan1n1(nN*)，得Sn1ann(n2，nN*)，两式相减，并化简，得an13an2，即an113(an1)，又a112130，所以an1是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an1(3)3n13n.故an3n1.(2)证明：由bnlog3(an1)log33nn，得，Tn.52017天津高考已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*)解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12.而b12，所以q2q60，解得q3或q2.又因为q0，所以q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以，数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn.由a2n6n2，得Tn4210221623(6n2)2n，2Tn42210231624(6n8)2n(6n2)2n1.上述两式相减，得Tn4262262362n(6n2)2n14(6n2)2n1(3n4)2n216，所以Tn(3n4)2n216.所以，数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n216.14
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