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21.2演绎推理学习目标1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系知识点一演绎推理思考分析下面几个推理，找出它们的共同点(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被2整除答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理梳理演绎推理的概念定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案分为三段大前提：所有的金属都能导电小前提：铜是金属结论：铜能导电梳理三段论的基本模式一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P1演绎推理的结论一定正确()2在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断()3大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的()类型一演绎推理与三段论例1将下列演绎推理写成三段论的形式平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的两底角，则AB；通项公式为an2n3的数列an为等差数列考点“三段论”及其应用题点三段论的应用解平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分结论等腰三角形的两底角相等，大前提A，B是等腰三角形的两底角，小前提AB.结论在数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列，大前提当通项公式为an2n3时，若n2，则anan12n32(n1)32(常数)，小前提通项公式为an2n3的数列an为等差数列结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提跟踪训练1下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案B解析对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式类型二演绎推理的应用例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF，写出三段论形式的演绎推理考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用证明因为同位角相等，两直线平行，大前提BFD与A是同位角，且BFDA，小前提所以FDAE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEBA，且FDAE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以EDAF.结论反思与感悟(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF平面BCD.考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EFBD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD，小前提所以EF平面BCD.结论例3设函数f(x)，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在函数中的应用解若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，大前提因为f(x)的定义域为R，小前提所以x2axa0恒成立结论所以a24a0，所以0a4.即当0a4时，f(x)的定义域为R.引申探究若本例的条件不变，求f(x)的单调递增区间解f(x)，由f(x)0，得x0或x2a.0a4，当0a0.在(，0)和(2a，)上，f(x)0.f(x)的单调递增区间为(，0)，(2a，)当a2时，f(x)0恒成立，f(x)的单调递增区间为(，)当2a4时，2a0，f(x)的单调递增区间为(，2a)，(0，)综上所述，当0a2时，f(x)的单调递增区间为(，0)，(2a，)；当a2时，f(x)的单调递增区间为(，)；当2a1)，证明：函数f(x)在(1，)上为增函数考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在函数中的应用证明方法一(定义法)任取x1，x2(1，)，且x10，且a1，所以1，而1x10，x210，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(1，)上为增函数方法二(导数法)f(x)axax1.所以f(x)axln a.因为x1，所以(x1)20，所以0.又因为a1，所以ln a0，ax0，所以axln a0，所以f(x)0.所以f(x)ax在(1，)上是增函数1下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D在数列an中，a11，an(n2)，由此归纳出an的通项公式考点演绎推理的含义与方法题点判断推理是否为演绎推理答案A解析A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理2指数函数yax(a1)是R上的增函数，y2|x|是指数函数，所以y2|x|是R上的增函数以上推理()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D正确考点“三段论”及其应用题点小前提或推理形式错误导致结论错误答案B解析此推理形式正确，但是，函数y2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.3把“函数yx2x1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_；小前提：_；结论：_.考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案二次函数的图象是一条抛物线函数yx2x1是二次函数函数yx2x1的图象是一条抛物线4设m为实数，利用三段论证明方程x22mxm10有两个相异实根考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面中的应用证明因为如果一元二次方程ax2bxc0(a0)的判别式b24ac0，那么方程有两个相异实根大前提方程x22mxm10的判别式4m24(m1)4m24m4(2m1)230，小前提所以方程x22mxm10有两个相异实根结论1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.一、选择题1论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足”上述推理用的是()A类比推理 B归纳推理C演绎推理 D一次三段论考点演绎推理的含义与方法题点判断推理是否为演绎推理答案C解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式2对于三段论“因为对数函数yloga x是减函数(大前提)，又yln x是对数函数(小前提)，所以yln x是减函数(结论)”，下列说法正确的是()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D以上都不对考点“三段论”及其应用题点大前提错误导致结论错误答案A解析“yloga x是减函数”错误，故大前提错误3正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确考点“三段论”及其应用题点小前提或推理形式错误导致结构错误答案C解析由于函数f(x)sin(x21)不是正弦函数故小前提不正确4在证明f(x)2x1为增函数的过程中，有下列四个命题：增函数的定义是大前提；增函数的定义是小前提；函数f(x)2x1满足增函数的定义是大前提；函数f(x)2x1满足增函数的定义是小前提其中正确的命题是()A BC D考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案A解析根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)2x1满足增函数的定义；结论是f(x)2x1为增函数，故正确5推理过程“大前提：_，小前提：四边形ABCD是矩形结论：四边形ABCD的对角线相等”应补充的大前提是()A正方形的对角线相等B矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等D矩形的对边平行且相等考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案B解析由三段论的一般模式知选B.6若a0，bc0，则下列不等式中不成立的是()Aabac Babac0C. D.考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案C解析在A中，bc两边同时加a，不等号方向不变，不等式成立；在B中，bc两边同时乘a，因为a0，所以不等号方向不变，不等式成立；在C中，若b2，c1，则，不等式不成立；易知D中不等式成立7在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1对任意实数x都成立，则()A1a1 B0a2Ca Da考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案C解析由题意知，(xa)(xa)(xa)1(xa)x2xa2a，x2xa2a0对任意实数x都成立，则14(a2a1)0，4a24a30，解得a”“解析由cos A0，知b2c2a2b2c2.12若不等式ax22ax20的解集为，则实数a的取值范围为_考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案0,2解析不等式ax22ax20无解，则不等式ax22ax20的解集为R.当a0时，20，显然成立，当a0时，解得0a2.a的取值范围为0,2三、解答题13下面给出判断函数f(x)的奇偶性的解题过程：解由于xR，且1.f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数试用三段论加以分析考点“三段论”及其应用题点三段论的应用解判断奇偶性的大前提“若定义域关于原点对称，且f(x)f(x)，则函数f(x)是奇函数；若定义域关于原点对称，且f(x)f(x)，则函数f(x)是偶函数”在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(x)f(x)四、探究与拓展14.如图，设平面EF，AB，CD，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出BDEF，这个条件不可能是下面四个选项中的()AACBACEFCAC与BD在内的射影在同一条直线上DAC与，所成的角相等考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案D解析只要能推出EFAC即可说明BDEF.当AC与，所成的角相等时，推不出EFAC，故选D.15已知yf(x)在(0，)上有意义，单调递增且满足f(2)1，f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x2)2f(x)；(2)求f(1)的值；(3)若f(x)f(x3)2，求x的取值范围考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在函数中的应用(1)证明因为f(xy)f(x)f(y)，所以f(x2)f(xx)f(x)f(x)2f(x)(2)解因为f(1)f(12)2f(1)，所以f(1)0.(3)解因为f(x)f(x3)f(x(x3)22f(2)f(4)，且函数f(x)在(0，)上单调递增，所以解得0x1.所以x的取值范围为(0,113
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