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第3讲等比数列及其前n项和板块一知识梳理自主学习必备知识考点1等比数列的有关概念1定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.2等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab(ab0)考点2等比数列的有关公式1通项公式：ana1qn1.2前n项和公式：Sn必会结论等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(5)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.(6)等比数列an满足或时，an是递增数列；满足或时，an是递减数列考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列()(2)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(3)G为a，b的等比中项G2ab.()(4)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(5)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()答案(1)(2)(3)(4)(5)22018河南名校联考在各项均为正数的等比数列an中，a13，a9a2a3a4，则公比q的值为()A. B. C2 D3答案D解析由a9a2a3a4得a1q8aq6，所以q2a，因为等比数列an的各项都为正数，所以qa13.故选D.3课本改编等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1()A. B C. D答案C解析由已知条件及S3a1a2a3，得a39a1，设数列an的公比为q，则q29.所以a59a1q481a1，得a1.故选C.42018黄冈调研设等比数列an中，公比q2，前n项和为Sn，则的值()A. B. C. D.答案A解析根据等比数列的公式，得.52015全国卷在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.答案6解析a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，n6.62018衡中检测在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.答案4或4解析设等比数列an的公比为q(q0)，则两式相除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或故a34或a34.板块二典例探究考向突破考向等比数列的基本运算例1(1)2017全国卷我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏 C5盏 D9盏答案B解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B.(2)2017江苏高考等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_.答案32解析设an的首项为a1，公比为q，则两式相除得，解得所以a8272532.触类旁通等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程【变式训练1】(1)2018东北师大附中月考已知等比数列an的前n项和为Sn，a1a3，且a2a4，则()A4n1 B4n1 C2n1 D2n1答案D解析设等比数列的公比为q，由题意，得解得则ana1n1，Sn，所以2n1.故选D.(2)2018安徽皖江名校联考已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2a416，S37，则a8_.答案128解析a2a4a16，a34(负值舍去)，a3a1q24，S37，q1，S23，3q24q40，解得q或q2，an0，q舍去，q2，a11，a827128.考向等比数列的性质命题角度1等比数列性质的应用例2(1)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5 B7 C6 D4答案A解析(a1a2a3)(a7a8a9)a50，a4a5a6a5.选A.(2)等比数列an的前n项和为Sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，则S5_.答案31解析a3a5a2a664，因为a3a520，所以a3和a5为方程x220x640的两根，因为an0，q1，所以a30的思维定式的影响，遗漏当q0时，S31q123，当且仅当q1时，等号成立；当公比q0时，S31121，当且仅当q1时，等号成立所以S3(，13，)答案D答题启示等比数列的公比q0时，数列中的各项符号相同；用等比数列前n项和公式时，如果其公比q不确定，要分q1和q1两种情况进行讨论.跟踪训练已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7答案D解析由已知得解得或当a44，a72时，易得a18，a101，从而a1a107；当a42，a74时，易得a108，a11，从而a1a107.板块四模拟演练提能增分A级基础达标1在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a32S21，a42S31，则公比q等于()A3 B3 C1 D1答案A解析两等式相减得a4a32a3，从而求得3q.故选A.2已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1 C. D.答案C解析设等比数列an的公比为q，a1，a3a54(a41)，由题可知q1，则a1q2a1q44(a1q31)，q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2.故选C.32018江西九江一模已知单调递增的等比数列an中，a2a616，a3a510，则数列an的前n项和Sn()A2n2 B2n1C2n1 D2n12答案B解析因为a2a616，所以a3a516，又a3a510，等比数列an单调递增，所以a32，a58，所以公比q2，a1，所以Sn2n1.故选B.42018延庆模拟等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn()An(n1) Bn(n1)C. D.答案A解析a2，a4，a8成等比数列，aa2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，将d2代入上式，解得a12，Sn2nn(n1)故选A.52015全国卷已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84答案B解析设等比数列an的公比为q，则a1(1q2q4)21，又a13，所以q4q260，所以q22(q23舍去)，所以a36，a512，a724，所以a3a5a742.故选B.6已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a3a5a1，且a4与a7的等差中项为，则S5等于()A35 B33 C31 D29答案C解析设等比数列an的公比是q，所以a3a5aq6a1，得a1q6，即a7.又a4a72，解得a42，所以q3，所以q，a116，故S531.故选C.72018昆明模拟设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则()A2 B. C. D1或2答案B解析设S2k，S43k，由数列an为等比数列，得S2，S4S2，S6S4为等比数列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，.故选B.8已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为_答案解析因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1a21910.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b199，易知b20，所以b23，所以.9商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0xa，所以ba0，所以x21x，即x2x10，解得x或x(舍去)10等比数列an满足：对任意nN*,2(an2an)3an1，an1an，则公比q_.答案2解析由题知2(anq2an)3anq，即2q23q20，解得q2或q，又an1an，故q2.B级知能提升1已知等比数列an的前n项和为Snx3n1，则x的值为()A. B C. D答案C解析解法一：Snx3n13n，由上述结论，得，x.解法二：当n1时，a1S1x；当n2时，anSnSn12x3n2.an是等比数列，n1时也应适合an2x3n2，即2x31x，解得x.故选C.2记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，则m的值为()A4 B7 C10 D12答案A解析因为an是等比数列，所以am1am1a.又am1am12am0，则a2am0.所以am2. 由等比数列的性质可知前2m1项积T2m1a，即22m1128，故m4.选A.32016全国卷设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_答案64解析设an的公比为q，由a1a310，a2a45，得a18，q，所以ann4(nN*)，即数列为递减数列当n4时，an1；当n5时，0an1，所以当n3或4时，a1a2an最大，又a24，a32，a41，所以a1a2ana1a2a3a464.42017北京高考已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解(1)设等差数列an的公差为d.因为a2a410，所以2a14d10，解得d2，所以an2n1.(2)设等比数列bn的公比为q，因为b2b4a5，所以b1qb1q39，解得q23，所以b2n1b1q2n23n1.从而b1b3b5b2n113323n1.5已知在数列an中，a12，a24，且an13an2an1(n2)(1)证明：数列an1an为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由an13an2an1(n2)，得an1an2(anan1)，因此数列an1an是公比为2，首项为a2a12的等比数列所以当n2时，anan122n22n1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n12n22)22n，当n1时，也符合，故an2n.(2)由(1)知bn，所以Tn，Tn，得Tn221，所以Tn3.13
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