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第3讲圆的方程板块一知识梳理自主学习必备知识考点1圆的定义、方程1.在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆2.确定一个圆的基本要素是：圆心和半径3.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)4.圆的一般方程(1)一般方程：x2y2DxEyF0；(2)方程表示圆的充要条件为：D2E24F0；(3)圆心坐标，半径r.考点2点与圆的位置关系1.理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系2.三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离(1)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr；(2)(x0a)2(y0b)2r2点在圆外dr；(3)(x0a)2(y0b)2r2点在圆内d0)，其中a，b为定值，r是参数；(2)半径相等的圆系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中r为定值，a，b是参数3.圆的直径端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.考点自测 1.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆()(3)方程x22axy20一定表示圆()(4)方程x2Bxyy2DxEyF0表示圆的充要条件是B0，D2E24F0.()(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.教材习题改编圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A.(2,3) B(2,3)C.(2，3) D(2，3)答案D解析由(x2)2(y3)213，知圆心坐标为(2，3).3.圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A.x2y210y0 Bx2y210y0C.x2y210x0 Dx2y210x0答案B解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5.圆的方程为x2y210y0.4.2016北京高考圆(x1)2y22的圆心到直线yx3 的距离为()A.1 B2 C. D2答案C解析由题知圆心坐标为(1,0)，将直线yx3化成一般形式为xy30，故圆心到直线的距离d.故选C.5.课本改编方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()A.m1 Bm1C.m1答案B解析由(4m)2445m0，得m1.6.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为_答案(x2)2y210解析依题意设所求圆的方程为(xa)2y2r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x2)2y210.板块二典例探究考向突破考向确定圆的方程 例1(1)2018承德模拟圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_答案(x1)2(y2)210解析设点C为圆心，因为点C在直线x2y30上，所以可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r.所求圆的方程为(x1)2(y2)210.(2)2016天津高考已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_答案(x2)2y29解析设圆C的方程为(xa)2y2r2(a0)，由题意可得解得所以圆C的方程为(x2)2y29.触类旁通1.用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程)；(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程2.用几何法求圆的方程利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用.【变式训练1】2015全国卷过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A.2 B8 C4 D10答案C解析设圆的方程为x2y2DxEyF0，将点A，B，C代入，得解得则圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y24y200，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1，y2是方程y24y200的两根，由根与系数的关系，得y1y24，y1y220，故|MN|y1y2|4.考向与圆有关的对称问题命题角度1两圆相互对称 例2圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为_答案(x2)2y25解析因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25的圆心(2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x2)2y25.命题角度2圆自身对称例3若圆(x1)2(y3)29上的相异两点P，Q关于直线kx2y40对称，则k的值为_答案2解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴已知圆的圆心为(1,3)，由题设知，直线kx2y40过圆心，则k(1)2340，解得k2.触类旁通对称圆的半径不变，圆的对称问题实际上是点的对称问题，求解过程中最重要的就是确定圆心掌握对称圆的几何特性对于解决圆的对称问题非常重要，此类问题往往与直线的位置关系综合命题.考向与圆有关的最值 命题角度1距离型最值例42018沈阳模拟已知x，y满足x2y50，则(x1)2(y1)2的最小值为()A. B. C. D.答案A解析(x1)2(y1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方由已知可得点P在直线l：x2y50上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值为d2.故选A.命题角度2建立目标函数求最值问题例5已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A.7 B6 C5 D4答案B解析解法一：由(x3)2(y4)21，知圆上点P(x0，y0)可化为APB90，即0，(x0m)(x0m)y0，m2xy266cos8sin2610sin()36，00)，m|OP|OC|r，C(3,4)，r1，|OP|6，即m6.故选B.触类旁通与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.考向与圆有关的轨迹问题例6已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.触类旁通与圆有关的轨迹问题的求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)代入法(相关点法)：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式注：本章第8讲有详细讲解.【变式训练2】全国卷已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.核心规律1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算满分策略1.求圆的方程需要三个独立条件，因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行，注意数形结合，充分运用圆的性质3.解决与圆有关的轨迹问题，一定要看清要求，是求轨迹方程还是求轨迹板块三启智培优破译高考创新交汇系列 6圆与线性规划的交汇问题如果点P在平面区域上，点Q在圆x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为_解题视点此类题目是线性规划与圆结合的问题，关键是画好区域理解问题的几何意义，运用数形结合思想解析由点P在平面区域上，画出点P所在的平面区域，如图中阴影部分所示；由点Q在圆x2(y2)21上，再画出点Q所在的圆，如图所示由题意得|PQ|的最小值为圆心(0，2)到平面区域的最小距离减去半径长又圆心(0，2)到直线x2y10的距离为，此时垂足(1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为1.答案1答题启示本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题.跟踪训练2016四川高考设p：实数x，y满足(x1)2(y1)22，q：实数x，y满足则p是q的()A.必要不充分条件 B充分不必要条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析如图作出p，q表示的区域，其中M及其内部为p表示的区域，ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件.板块四模拟演练提能增分A级基础达标1.2018潍坊模拟若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A.(x2)2(y2)23 B(x2)2(y)23C.(x2)2(y2)24 D(x2)2(y)24答案D解析因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆与y轴相切，所以半径r2，设圆心坐标为(2，b)，则(12)2b24，b23，b，选D.2.2018东莞调研已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为()A.8 B4 C6 D无法确定答案C解析圆上存在关于直线xy30对称的两点，则xy30过圆心，即30，m6.3.圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的和是()A.30 B18 C10 D5答案C解析由圆x2y24x4y100知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线xy140的最大距离为38，最小距离为32，故最大距离与最小距离的和为10.4.如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，圆心坐标为()A.(1,1) B(1，1)C.(1,0) D(0，1)答案D解析r，当k0时，r最大，此时圆的方程为x2(y1)21，所以圆心坐标为(0，1)，选D.5.2018临汾模拟若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A.(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)21C.(x2)2(y1)21 D(x3)2(y1)21答案A解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a0)，又由圆与直线4x3y0相切可得1，解得a2，故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.6.方程|y|1表示的曲线是()A.一个椭圆 B一个圆C.两个圆 D两个半圆答案D解析由题意知|y|10，则y1或y1，当y1时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y1上方的半圆；当y1时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y1下方的半圆所以方程|y|1表示的曲线是两个半圆，选D.7.2018济南模拟已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A.(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21C.(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21答案B解析设圆C1的圆心坐标C1(1,1)关于直线xy10的对称点为(a，b)，依题意得解得所以圆C2的方程为(x2)2(y2)21.8.2016浙江高考已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案(2，4)5解析由题可得a2a2，解得a1或a2.当a1 时，方程为x2y24x8y50，表示圆，故圆心为(2，4)，半径为5.当a2时，方程不表示圆.9.直线x2y2k0与2x3yk0的交点在圆x2y29的外部，则k的取值范围是_答案解析由得(4k)2(3k)29，即25k29，解得k或k0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，得x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.令xcos，ysin，xy2(sincos)22sin2，所以的最小值为4.5.2018洛阳统考已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S在直线2xy40上(1)求圆S的方程；(2)若直线xym0与圆S相交于C，D两点，若COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围解(1)线段AB的中垂线方程为yx，由得所以圆S的圆心为S(4,4)，圆S的半径为|SA|5，故圆S的方程为(x4)2(y4)225.(2)由xym0变形得yxm，代入圆S的方程，消去y并整理得2x22mxm28m70.令(2m)28(m28m7)0，得85m85.设C，D的横坐标分别为x1，x2，则x1x2m，x1x2.依题意，得0，即x1x2(x1m)(x2m)0，即m28m70，解得1m7.故实数m的取值范围是m|85m85m|1m7m|1m7.11
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