（全国通用版）2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理学案 新人教A版选修2-2

21.1合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用知识点一归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于什么推理？答案属于归纳推理梳理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理？答案类比推理梳理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(2)特征：由特殊到特殊的推理知识点三合情推理思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假梳理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理(2)推理的过程1类比推理得到的结论可作为定理应用()2由个别到一般的推理为归纳推理()3在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()类型一归纳推理例1(1)观察下列等式：1121，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第n个等式可为_(2)已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN*)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案(1)(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(2)解析(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n1)，(nn)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(2)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根据前几项可以猜想fn(x).引申探究在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”，其他条件不变，试猜想fn(x) (nN*)的表达式解f(x)，f1(x).又fn(x)f(fn1(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x).因此，可以猜想fn(x).反思与感悟(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳推理得出一般结论(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式跟踪训练1已知数列an的前n项和为Sn，a13，满足Sn62an1(nN*)(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想an的表达式考点归纳推理的应用题点归纳推理在数列中的应用解(1)因为a13，且Sn62an1(nN*)，所以S162a2a13，解得a2，又S262a3a1a23，解得a3，又S362a4a1a2a33，解得a4.(2)由(1)知a13，a2，a3，a4，猜想an(nN*)例2有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B31 C32 D36考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案B解析有菱形纹的正六边形的个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B.反思与感悟归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练2用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案C解析归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an8(n1)66n2.类型二类比推理例3设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列下面证明该结论的正确性：设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，成等比数列反思与感悟已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比)：等差数列等比数列定义anan1d(n2)anan1q(n2)通项公式ana1(n1)dana1qn1性质若mnpq，则amanapaq若mnpq，则amanapaq跟踪训练3若数列an(nN*)是等差数列，则有数列bn(nN*)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列cn是等比数列，且cn0，则有数列dn_(nN*)也是等比数列考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案解析数列an(nN*)是等差数列，则有数列bn(nN*)也是等差数列类比猜想：若数列cn是各项均为正数的等比数列，则当dn时，数列dn也是等比数列例4如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解如题图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS成立反思与感悟(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练4在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想并证明考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解在长方形ABCD中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2cos2cos21.证明如下：cos2cos2cos22221.1已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可推知扇形面积公式S扇等于()A. B.C. D不可类比考点类比推理的应用题点平面曲线的类比答案C解析扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S扇.2如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案A解析由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据3657余1，可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即白色3观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76C123 D199考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案C解析利用归纳法：ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和4在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案18解析设两个正四面体的体积分别为V1，V2，则V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.5按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为_考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案40解析图1中的点数为414，图2中的点数为824，图3中的点数为1234，所以图10中的点数为10440.1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程概括为一、选择题1下面使用类比推理，得出的结论正确的是()A若“a3b3，则ab”类比出“若a0b0，则ab”B“若(ab)cacbc”类比出“(ab)cacbc”C“若(ab)cacbc”类比出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比出“(ab)nanbn”考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案C解析显然A，B，D不正确，只有C正确2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A. BC. D考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案A解析观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果3根据给出的数塔猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.4类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行则其中正确的结论是()A BC D考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案B解析根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，是正确的结论5观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)等于()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)6观察下列式子：1，1，1，根据以上式子可以猜想：1小于()A. B.C. D.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案C解析观察可以发现，第n(n2)个不等式左端有n1项，分子为1，分母依次为12,22,32，(n1)2；右端分母为n1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1，所以当n2 016时不等式为10)在点P(x0，y0)处切线的方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2，由此类比，椭圆1(ab0)在点P(x0，y0)处的切线方程为_考点类比推理的应用题点平面曲线之间的类比答案1解析类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：椭圆1(ab0)在点P(x0，y0)处的切线方程为1.三、探究与拓展14正整数按下表的规律排列，则上起第2 017行，左起第2 018列的数应为()A2 0162 017 B2 0172 018C2 0182 019 D2 0192 020考点归纳推理的应用题点归纳推理在数阵(表)中的应用答案B解析由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 018列的第一个数为2 01721，由连线规律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的数应为2 01722 0172 0172 018.15已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解类比ABAC，ADBC，可以猜想在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.猜想正确理由如下：如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正确17