（全国版）2019版高考数学一轮复习 第11章 算法初步、复数、推理与证明 第2讲 数系的扩充与复数的引入学案

第2讲数系的扩充与复数的引入板块一知识梳理自主学习必备知识考点1复数的有关概念1复数的概念形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0，b0，则abi为纯虚数2复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)3共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)4复数的模向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r(r0，rR)考点2复数的几何意义考点3复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则1加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；2减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；3乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；4除法：i(cdi0)必会结论1(1i)22i；i；i.2baii(abi)3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)4i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程x210没有解()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模()(4)已知复数z的共轭复数12i，则z在复平面内对应的点位于第三象限()(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()答案(1)(2)(3)(4)(5)22017全国卷复平面内表示复数zi(2i)的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析zi(2i)12i，复数z12i所对应的复平面内的点为Z(1，2)，位于第三象限故选C.32017全国卷()A12i B12iC2i D2i答案D解析2i.故选D.42018榆林模拟设复数z2i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1z)|等于()A. B2 C5 D.答案D解析z2i，2i，|(1z)|(12i)(2i)|3i|，故选D.52017江苏高考已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_答案解析z(1i)(12i)12ii213i，|z|.|z|1i|12i|.62018湖北高中联考已知复数z1i(i是虚数单位)，则z2的共轭复数是_答案13i解析z2(1i)22i1i2i13i，其共轭复数是13i.板块二典例探究考向突破考向复数的有关概念例1(1)2017全国卷下列各式的运算结果为纯虚数的是()Ai(1i)2 Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)答案C解析A项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是纯虚数B项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数C项，(1i)212ii22i，是纯虚数D项，i(1i)ii21i，不是纯虚数故选C.(2)2017天津高考已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_答案2解析aR，i为实数，0，a2.触类旁通求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解【变式训练1】(1)若复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，则的虚部为()A Bi C. D.i答案A解析由题意得所以a1，所以i，根据虚部的概念，可得的虚部为.故选A.(2)2018福州调研已知mR，i为虚数单位，若0，则m()A1 B. C. D2答案B解析由已知得，由0，可得12m0，则m，选B.考向复数的几何意义例2(1)2017北京高考若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)答案B解析(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，又复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，解得a1.故选B.(2)2018贵阳模拟已知i为虚数单位，a为实数，复数z在复平面上对应的点在y轴上，则a_.答案3解析z，由a30，得a3.触类旁通复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值【变式训练2】(1)2018邯郸模考已知i是虚数单位，若复数z在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的值可以是()A2 B1 C2 D3答案A解析z，因为复数z在复平面内对应的点在第四象限，所以解得4a1 Ba0 C0a1 Da1.故选A.核心规律1实轴上的点都表示实数除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2设zabi(a，bR)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法3在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法法则需分母实数化满分策略1判定复数是不是实数，仅注意虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚数，如虚数不能比较大小，但说两个复数不能比较大小就不对了3注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z20在复数范围内有可能成立. 板块三启智培优破译高考数学思想系列12解决复数问题的实数化思想2018金华模拟已知zC，解方程z3i13i.解题视点设zabi(a，bR)，根据已知中恒等的条件，列出一组含a，b的方程，解方程组使问题获得解决解设zabi(a，bR)，则(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i.根据复数相等的定义，得解之得或z1或z13i.答题启示(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把z用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.跟踪训练2018金版创新设复数z满足z|2i，则z()Ai B.i Ci D.i答案B解析设zabi(a，bR)，由已知得abi2i，由复数相等可得故zi，故选B.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12017全国卷设复数z满足(1i)z2i，则|z|()A. B. C. D2答案C解析由(1i)z2i，得z1i，|z|.故选C.2i(1i)2，由(1i)z2i(1i)2，得z1i，|z|.故选C.22018湖南模拟已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A1i B1i C1i D1i答案D解析由1i，得z1i.32018江西模拟已知复数z1cos23isin23和复数z2cos37isin37，则z1z2为()A.i B.iC.i D.i答案A解析z1z2(cos23isin23)(cos37isin37)cos60isin60i.故选A.4设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，则()A1i B.iC1i D1i答案B解析因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，所以z22i，所以i.故选B.52018天津模拟已知复数z满足(i1)(zi3)2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()Ai1 B12i C1i D12i答案B解析依题意可得zi3i(i1)i12i，其共轭复数为12i，故选B.6已知a为实数，若复数z(a21)(a1)i为纯虚数，则()A1 B0 C1i D1i答案D解析z(a21)(a1)i为纯虚数，则有a210，a10，得a1，则有1i，选D.72018郴州模拟设z1i(i是虚数单位)，若复数z2在复平面内对应的向量为，则向量的模是()A1 B. C. D2答案B解析z1i(i是虚数单位)，复数z2(1i)22i1i.向量的模：.故选B.82018温州模拟满足i(i为虚数单位)的复数是_答案解析由已知得zizi，则z(1i)i，即z.9若1bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|abi|_.答案解析a，bR，且1bi，则a(1bi)(1i)(1b)(1b)i，|abi|2i|.102017浙江高考已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.答案52解析(abi)2a2b22abi.由(abi)234i，得解得a24，b21.所以a2b25，ab2.B级知能提升12018成都模拟已知复数z126i，z22i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为 z，则|z|()A. B5 C2 D2答案A解析复数z126i，z22i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,6)，B(0，2)，线段AB的中点C(1，2)对应的复数为z12i，则|z|.故选A.22017全国卷设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4答案B解析设zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于p1，若R，即R，则b0zabiaR，所以p1为真命题对于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，则ab0.当a0，b0时，zabibi/ R，所以p2为假命题对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b10/ a1a2，b1b2，所以p3为假命题对于p4，若zR，即abiR，则b0abiaR，所以p4为真命题故选B.32018厦门模拟已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_答案解析|z2|，(x2)2y23.由图可知max.4已知复数zbi(bR)，是实数，i是虚数单位(1)求复数z；(2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围解(1)因为zbi(bR)，所以i.又因为是实数，所以0，所以b2，即z2i.(2)因为z2i，mR，所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2(m24)4mi，又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限，所以解得m2，即m(，2)5若虚数z同时满足下列两个条件：z是实数；z3的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由解存在设zabi(a，bR，b0)，则zabiabi.又z3a3bi实部与虚部互为相反数，z是实数，根据题意有因为b0，所以解得或所以z12i或z2i.11