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第1讲函数及其表示板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1函数与映射的概念考点2函数的三要素函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数yf(x)，xA，其中(1)定义域：自变量x的取值构成的集合；(2)值域：函数值的集合f(x)|xA考点3函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法考点4分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数必会结论1函数问题允许多对一，但不允许一对多与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点2判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致3分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf(x)的图象与直线xa最多有2个交点()(2)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()答案(1)(2)(3)(4)2课本改编下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x1 Df(x)x答案C解析只有C不满足，f(2x)2x1，而2f(x)2x2，f(2x)2f(x)32018唐山统考函数y的定义域为()A0,3 B1,3C1，) D3，)答案B解析由x(3x)0得0x3，由x10得x1，所以定义域为1,3选B.42018江西模拟已知函数f(x)5|x|，g(x)ax2x(aR)若fg(1)1，则a()A1 B2 C3 D1答案A解析fg(1)f(a1)5|a1|1，a1.选A.52017天津六校联考已知函数f(x)则f(0)f(log232)()A19 B17 C15 D13答案A解析f(0)f(log232)f(0)f(5)log2(40)1251211619.故选A.6已知函数yf(x21)的定义域为，则函数yf(x)的定义域为_答案1,2解析yf(x21)的定义域为，x，x211,2，yf(x)的定义域为1,2板块二典例探究考向突破考向求函数的定义域例1(1)2018辽宁模拟函数f(x)的定义域为()A1,10 B1,2)(2,10C(1,10 D(1,2)(2,10答案D解析要使函数f(x)有意义，则x需满足即所以不等式组的解集为(1,2)(2,10故选D.(2)已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.答案B解析由函数f(x)的定义域为(1,0)，则使函数f(2x1)有意义，需满足12x10，解得1x，即所求函数的定义域为.本例(2)中条件不变，求函数g(x)f(2x1)f(3x1)的定义域解函数f(3x1)有意义，需13x10，解得x，又由f(2x1)有意义，解得1x，所以可知g(x)的定义域为.若本例(2)中条件变为：“函数f(x1)的定义域为(1,0)”，则结果如何？解因为f(x1)的定义域为(1,0)，即1x0，所以2x11，故f(x)的定义域为(2，1)，则使函数f(2x1)有意义，需满足22x11，解得x1.所以所求函数的定义域为.触类旁通函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)抽象函数：若已知函数f(x)的定义域为a，b，其复合函数fg(x)的定义域由ag(x)b求出若已知函数fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域【变式训练1】(1)若函数yf(x)的定义域是0,2018，则函数g(x)的定义域是()A1,2017 B1,1)(1,2017C0,2018 D1,1)(1,2018答案B解析由0x12018，得1x2017，又x1，B正确(2)2018安徽模拟函数yln 的定义域为_答案(0,1解析要使函数有意义，需即即解得0x1，所以定义域为(0,1考向求函数的解析式例2(1)已知二次函数f(2x1)4x26x5，则f(x)_.答案x25x9(xR)解析解法一：(换元法)令2x1t(tR)，则x，所以f(t)4265t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)解法二：(配凑法)因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)解法三：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)(2)已知f(x)满足2f(x)f3x1，则f(x)_.答案2x(x0)解析已知2f(x)f3x1，以代替式中的x(x0)，得2ff(x)1，2得3f(x)6x1，故f(x)2x(x0)触类旁通求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件fg(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)【变式训练2】(1)已知f(x)3f(x)2x1，则f(x)_.答案x解析由已知得f(x)3f(x)2x1，解方程组得f(x)x.(2)已知f(1)x2，求f(x)的解析式解解法一：设t1，则x(t1)2(t1)代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.f(x)x21(x1)解法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)考向分段函数命题角度1分段函数求值问题例32018温州十校联考设函数f(x)则f_；若ff(a)1，则a的值为_答案2解析由题意，得ff(1)2；因为ff(a)1，所以f(a)，则解得a.命题角度2分段函数与方程的交汇问题例42018浙江模拟设函数f(x)若f4，则b()A1 B. C. D.答案D解析f3bb，ff.当b时， f3b4，b(舍去)当b1时，即b时，f2b4，即b2，b.选D.命题角度3分段函数与不等式的交汇问题例5设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3) B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)答案C解析若a0，则f(a)1a71a3，故3a0；若a0，则f(a)11，解得a1，故0a1.综合可得3a1.故选C.触类旁通分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间核心规律1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先意识3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法满分策略1.已知函数的解析式求函数的定义域，就是构建使解析式有意义的不等式(组)求解，切不可将所给解析式化简后再求定义域2.利用换元法求函数解析式时，换元后应注意参数的取值范围3.解决分段函数问题的策略是分段击破，即对不同的区间进行分类求解，然后整合，要注意检验所求结果是否适合自变量的取值范围另外图象法也是解决很多分段函数的一种重要方法，应引起同学们注意，灵活运用.板块三启智培优破译高考数学思想系列1分段函数中的分类讨论思想 2017山东高考设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2 B4 C6 D8解题视点当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域的不同子集进行分类讨论解析若0a1，由f(a)f(a1)得 2(a11)，a，ff(4)2(41)6.若a1，由f(a)f(a1)得2(a1)2(a11)，无解综上，f6.故选C.答案C答题启示根据自变量所在的区间代入相应段的函数解析式，若涉及复合函数求值，从内到外逐步求值，注意相应自变量所在的区间；已知函数值求自变量(或参数)的值，通过分类讨论化为若干个混合组求解，要充分利用分段函数在各段上的值域，减少运算量.跟踪训练2015山东高考设函数f(x)则满足ff(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0,1C. D1，)答案C解析由ff(a)2f(a)，得f(a)1.若a1，则3a11，解得a1；若a1，则2a1，解得a1.综上，a的取值范围是.选C.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018陕西模拟设f(x)则ff(2)()A1 B. C. D.答案C解析f(2)22，ff(2)f1.选C.2集合Ax|0x4，By|0y2，下列不表示从A到B的函数的是()Af：xyx Bf：xyxCf：xyx Df：xy答案C解析依据函数概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，选项C不符合32018广东深圳函数y的定义域为()A(2,1) B2,1C(0,1) D(0,1答案C解析由题意得解得0x1.故选C.4已知函数f(x)且f(x0)3，则实数x0的值为()A1 B1C1或1 D1或答案C解析由条件可知，当x00时，f(x0)2x013，所以x01；当x02，故由f(a)3可得log2(a1)3，所以a7，从而f(6a)f(1).8已知函数f(x)对任意的xR，f(x1001)，已知f(15)1，则f(2017)_.答案1解析根据题意，f(2017)f(10161001)，f(1016)f(151001)，而f(15)1，所以f(1016)1，则f(2017)1.9已知函数f(x)ln (xx2)，则函数f(2x1)的定义域为_答案解析由题意知，xx20，1x0，即f(x)定义域为(1,0)12x10，则1x.102018榆林模拟已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范围是_答案4,2解析由题意知或解得4x0或00恒成立当a0时，不等式为20，恒成立；当a0时，要使不等式恒成立，则即解得0a.由得0a2的解集是_答案x|x1解析当x0时，f(x)1，不等式的解集为x|x1；当x0时，f(x)0，不等式无解；当x0时，f(x)1，不等式的解集为x|x2的解集为x|x142018广东三校联考设函数f(x)若ff(a)3，求实数a的取值范围解令f(a)t，则f(t)3或解得t3，则f(a)3或解得a，则实数a的取值范围是(，52017北京海淀期末已知函数f(x)x|x|2x.(1)求函数f(x)0时x的值；(2)画出yf(x)的图象，并结合图象写出f(x)m有三个不同实根时，实数m的取值范围解(1)由f(x)0可解得x0，x2，所以函数f(x)0时x的值为2,0,2.(2)f(x)x|x|2x，即f(x)图象如下：由图象可得实数m(1,1)11
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