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第3讲三角函数的图象和性质板块一知识梳理自主学习 必备知识考点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 必会结论1函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为T，函数ytan(x)的最小正周期为T.2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期3三角函数中奇函数一般可化为yAsinx或yAtanx的形式，而偶函数一般可化为yAcosxb的形式考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)ycosx在第一、二象限内是减函数()(2)函数ysin是偶函数，最小正周期为.()(3)函数ysinx的对称轴方程为x2k(kZ)()(4)函数ytanx在整个定义域上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)2课本改编若函数f(x)cos2x，则f(x)的一个递增区间为()A. B.C. D.答案B解析由f(x)cos2x知递增区间为，kZ，故只有B项满足32018福建模拟函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx答案C解析由xk，得xk，当k1时，x.42018厦门模拟函数ysin1的图象的一个对称中心的坐标是()A. B.C. D.答案B解析对称中心的横坐标满足2xk，解得x，kZ.当k1时，x，y1.故选B.5课本改编函数ytan的定义域是()Ax BxCx Dx答案D解析ytantan，由xk，kZ，得xk，kZ.故选D.6函数y32cos的最大值为_，此时x_.答案52k(kZ)解析函数y32cos的最大值为325，此时x2k(kZ)，即x2k(kZ)板块二典例探究考向突破考向三角函数的定义域、值域例1(1)2018烟台模拟函数y的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)DR答案C解析cosx0，得cosx，2kx2k，kZ.(2)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为_答案2解析0x9，x，sin1，故2sin2.即函数y2sin(0x9)的最大值为2，最小值为.所以最大值与最小值的和为2.本例(2)中的函数换为“y3sinx2cos2x，x”，如何解答？解x，sinx.又y3sinx2cos2x3sinx2(1sin2x)22，当sinx时，ymin；当sinx或sinx1时，ymax2.故函数的最大值与最小值的和为2.本例(2)中的函数换为“ysinxcosxsinxcosx，x0，”，又该如何解答？解令tsinxcosx，又x0，tsin，t1，由tsinxcosx，得t212sinxcosx，即sinxcosx.原函数变为yt，t1，即yt2t.当t1时，ymax11；当t1时，ymin11.故函数的最大值与最小值的和为110.触类旁通三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令tsinx，或tsinxcosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)换元法的应用：把sinx或cosx看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题此时注意所换元的取值范围【变式训练1】(1)函数y的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由2sinx10，得sinx，所以2kx2k(kZ)(2)函数ycos，x的值域是_答案解析x，x，y.考向三角函数的单调性例2已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)因为f(x)2sin的最小正周期为，且0.从而有，故1.(2)因为f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减触类旁通三角函数单调性问题的解题策略(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0)在区间 上单调递减，则有，即T，所以T，解得.所以的值可以是.故选A.(2)函数ysin的递增区间是_答案(kZ)解析ysin，2k2x2kkxk(kZ)考向三角函数的奇偶性、周期性及对称性命题角度1三角函数的周期性与奇偶性例32018长沙模拟设函数f(x)sin的最小正周期为，且是偶函数，则()Af(x)在内单调递减Bf(x)在内单调递减Cf(x)在内单调递增Df(x)在内单调递增答案A解析由条件，知2.因为f(x)是偶函数，且|0,0，直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则等于()A. B. C. D.答案A解析由题意得2，1，f(x)sin(x)，k(kZ)，k(kZ)又00)的形式2.函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysint的性质满分策略1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，尽量化成0时的情况3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.板块三启智培优破译高考数学思想系列4三角函数中的分类讨论思想2018龙岩模拟已知函数f(x)2asinab的定义域是，值域是5,1，求a，b的值解题视点先求出2x的范围，再求出sin的值域；系数a的正、负影响着f(x)的值，因而要分a0，a0或a0时，解得当a0或a0的分类讨论，导致漏解.跟踪训练已知a是实数，则函数f(x)1asinax的图象不可能是()答案D解析当a0时，f(x)1，即图象C；当0a1时，三角函数的最大值为1a2，即图象A；当a1时，三角函数的最大值为a1 2，且最小正周期为T0)的图象的相邻两支截直线y1所得的线段长为，则f的值是()A0 B. C1 D.答案D解析由条件可知，f(x)的周期是.由，得4，所以ftantan.5函数y2sin(x0，)的增区间是()A. B.C. D.答案C解析y2sin2sin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，即函数的增区间为，kZ，当k0时，增区间为.62018深圳模拟函数ylogcosx的一个单调减区间是()A(，0) B(0，) C. D.答案D解析首先应保证cosx0；函数ylogcosx的单调减区间，即函数cosx的单调增区间.易知只有选项D符合.72018郑州模拟如果函数y3sin(2x)的图象关于直线x对称，则|的最小值为()A. B. C. D.答案A解析由题意，得sin1.所以k，即k(kZ)，故|min.8函数y2sin1，x的值域为_，并且取最大值时x的值为_答案1,1解析x，2x，sin0,1，y1,1当2x时，即x时y取得最大值1.92018江苏模拟函数ylg sin2x的定义域为_答案解析由得3x或0x.函数ylg sin2x的定义域为.10如果函数y3cos(2x)的图象关于点成中心对称，那么|的最小值为_答案解析依题意得3cos0，k，k(kZ)，所以|的最小值是.B级知能提升12017全国卷设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减答案D解析A项，因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确B项，因为f(x)cos图象的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图象关于直线x对称，B项正确C项，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，C项正确D项，因为f(x)cos的递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)，所以是减区间，是增区间，D项错误故选D.22018宁夏模拟已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D(0,2)答案A解析由x，0得，x，又ysinx在上递减，所以解得.故选A.3已知函数f(x)cos，其中x，若f(x)的值域是，则m的最大值是_答案解析由x，可知3x3m，fcos，且fcos1，要使f(x)的值域是，需要3m，解得m，即m的最大值是.42018广东模拟设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间；(2)求不等式1f(x)的解集解(1)由k(kZ)，得x2k(kZ)，所以函数f(x)的定义域是.因为，所以周期T2.由kk(kZ)，得2kx2k(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ)(2)由1tan，得kk(kZ)解得2kx2k(kZ)所以不等式1f(x)的解集是.5已知函数f(x)sin(x)(01,0)是R上的偶函数，其图象关于点M对称(1)求，的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)x， 求f(x)的最大值与最小值解(1)因为f(x)sin(x)是R上的偶函数，所以k，kZ，且0，则，即f(x)cosx.因为图象关于点M对称，所以k，kZ，且01，所以.(2)由(1)得f(x)cosx，由2kx2k且kZ得，3kx3k，kZ，所以函数f(x)的递增区间是，kZ.(3)因为x，所以x，当x0时，即x0，函数f(x)的最大值为1，当x时，即x，函数f(x)的最小值为0.16
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